量子群

量子群(quantum group)乃一系列代數結構之通稱，霍普夫代數(Hopf algebra)之特例，亦可視為q-量子化之李代數也。雖其名曰「羣」，惟彼非羣矣。以其表示論可構楊振寧-Baxter 方程之解，與扭結之不變量。

Drinfeld 所謂之量子群

狹義上最常見之量子羣，又曰量子通用包絡代數 (quantum universal envelopping algebra, QUE algebra), 來自Vladimir Drinfeld、Nicolai Reshetikhin、Michio Jimbo 等之學，乃Kac-Moody 代數之通用包絡之q-形變。 設

• ${\mathfrak {g}}$ 為一Kac-Moody 代數,
• $A=(a_{ij})$ 為其嘉當矩陣，
• q為非 0 非 1 之複數，

則量子羣$U_{q}({\mathfrak {g}})$為一單元結合代數 ，有生成元：

• $k_{\lambda }$ (其中 $\lambda$ 屬於權格， 即 每一 i 有:$2(\lambda ,\alpha _{i})/(\alpha _{i},\alpha _{i})\in \mathbb {Z}$),
• $e_{i}:=e_{\alpha _{i}}$, 其中$\alpha _{i}$ 為簡單根;
• $f_{i}:=f_{\alpha _{i}}$, 其中$\alpha _{i}$ 為簡單根;
• $k_{0}=1$;

符

• $k_{\lambda }k_{\mu }=k_{\lambda +\mu }$,
• $k_{\lambda }e_{i}k_{\lambda }^{-1}=q^{(\lambda ,\alpha _{i})}e_{i}$,
• $k_{\lambda }f_{i}k_{\lambda }^{-1}=q^{-(\lambda ,\alpha _{i})}f_{i}$,
• $[e_{i},f_{j}]=\delta _{ij}{\frac {k_{i}-k_{i}^{-1}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}$,
• $\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}e_{i}^{n}e_{j}e_{i}^{1-a_{ij}-n}=0$, for $i\neq j$,
• $\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}f_{i}^{n}f_{j}f_{i}^{1-a_{ij}-n}=0$, for $i\neq j$,

其中$k_{i}=k_{\alpha _{i}}$；$q_{i}=q^{{\frac {1}{2}}(\alpha _{i},\alpha _{i})}$； $[0]_{q_{i}}!=1$；$[n]_{q_{i}}!$為q-階乘；$[m]_{q_{i}}$為q-序列 。

末二關係式曰 「q-舍爾關係」，即舍爾關係之q-形變。

當q 逼近 1，此等關係式漸近於一般 通用包絡代數 $U({\mathfrak {g}})$之關係式，而各元之極限為：

• $k_{\lambda }\to 1$
• ${\frac {k_{\lambda }-k_{-\lambda }}{q-q^{-1}}}\to t_{\lambda }$

其中 $t_{\lambda }$ 為嘉當子代數${\mathfrak {h}}$一元，其與${\mathfrak {h}}$中任何元h 有關係：$(t_{\lambda },h)=\lambda (h)$。 存在數種餘結合餘積 結構使$U_{q}({\mathfrak {g}})$成為霍普夫代數，例如：

• $\Delta _{1}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }$, $\Delta _{1}(e_{i})=1\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}$, $\Delta _{1}(f_{i})=k_{i}^{-1}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes 1$,

• $\Delta _{2}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }$, $\Delta _{2}(e_{i})=k_{i}^{-1}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes 1$, $\Delta _{2}(f_{i})=1\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}$,

• $\Delta _{3}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }$, $\Delta _{3}(e_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}$, $\Delta _{3}(f_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}$, 其中，若有需要，吾人可加入生成元 $k_{\lambda }$ ，而 λ 為某權格元素與某根格元素之半 之和；

同時，吾人有反餘積$T\circ \Delta$，其中 $T(x\otimes y)=y\otimes x$，即

• $\Delta _{4}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }$, $\Delta _{4}(e_{i})=k_{i}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes 1$, $\Delta _{4}(f_{i})=1\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}^{-1}$,其中 $\Delta _{4}=T\circ \Delta _{1}$,

• $\Delta _{5}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }$, $\Delta _{5}(e_{i})=1\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}^{-1}$, $\Delta _{5}(f_{i})=k_{i}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes 1$, where $\Delta _{5}=T\circ \Delta _{2}$,

• $\Delta _{6}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }$, $\Delta _{6}(e_{i})=k_{i}^{\frac {1}{2}}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}$, $\Delta _{6}(f_{i})=k_{i}^{\frac {1}{2}}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}$, where $\Delta _{6}=T\circ \Delta _{3}$.

此等餘積有同一餘單位元： $\epsilon (k_{\lambda })=1$, $\epsilon (e_{i})=0$, $\epsilon (f_{i})=0$，

其對映各為：

• $S_{1}(k_{\lambda })=k_{-\lambda },\ S_{1}(e_{i})=-e_{i}k_{i}^{-1},\ S_{1}(f_{i})=-k_{i}f_{i}$,

• $S_{2}(k_{\lambda })=k_{-\lambda },\ S_{2}(e_{i})=-k_{i}e_{i},\ S_{2}(f_{i})=-f_{i}k_{i}^{-1}$,

• $S_{3}(k_{\lambda })=k_{-\lambda },\ S_{3}(e_{i})=-q_{i}e_{i},\ S_{3}(f_{i})=-q_{i}^{-1}f_{i}$,

• $S_{4}(k_{\lambda })=k_{-\lambda },\ S_{4}(e_{i})=-k_{i}^{-1}e_{i},\ S_{4}(f_{i})=-f_{i}k_{i}$,

• $S_{5}(k_{\lambda })=k_{-\lambda },\ S_{5}(e_{i})=-e_{i}k_{i},\ S_{5}(f_{i})=-k_{i}^{-1}f_{i}$,

• $S_{6}(k_{\lambda })=k_{-\lambda },\ S_{6}(e_{i})=-q_{i}^{-1}e_{i},\ S_{6}(f_{i})=-q_{i}f_{i}$.

換一角度，$U_{q}(G)$ 為域${\mathbb {C} }(q)$上一代數－－${\mathbb {C} }$上以 q 為變量之有理函數域；

亦可視 $U_{q}(G)$為域${\mathbb {Q} }(q)$上一代數－－${\mathbb {Q} }$上以 q 為變量之有理函數域（見下文：q=0 時之量子羣一節）。

表示理論

量子羣有多種表示。

由其霍普夫代數結構，$U_{q}(G)$ 有在其自身上之伴隨表示，如下： ${\mathrm {Ad} }_{x}.y=\sum _{(x)}x_{(1)}yS(x_{(2)}),$

其中$x_{(1)},x_{(2)}$ 為常用符號（所謂「Sweedler 符號」）

$\sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}:=\Delta (x)$。

情況一：q非 1 之根

權表示(或曰「權模」 )重要。 權模有由權向量所成之基。 權向量即非零向量v, 使每$\lambda$有 $k_{\lambda }.v=d_{\lambda }v$ ，其中每$d_{\lambda }$為複數，使

• $d_{0}=1$,

• 每權 $\lambda$ 、 $\mu$ 有 $d_{\lambda }d_{\mu }=d_{\lambda +\mu }$,。

若 權格中每一 $\lambda$ 有$k_{\lambda }.v=q^{(\lambda ,\nu )}v$ ，則吾人稱 v 之權為$\nu$ 。

可積表示者, 為一權表示，於其上$e_{i}$ and $f_{i}$之作用俱為零冪 (即其中每一 v，存在正整數k使每一 i 有 $e_{i}^{k}.v=f_{i}^{k}.v=0$)。此時，各數 $d_{\lambda }$ 符 $d_{\lambda }=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}$，其中 $\nu$ 屬於權格，而$c_{\lambda }$ 為複數，使得

• $c_{0}=1$,

• 每權$\lambda$ 、$\mu$ 有$c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu }$,

• 每i 有$c_{2\alpha _{i}}=1$ 。

最高權表示尤其重要。最高權模生自單一權向量 v；每一權$\lambda$， v 符 $k_{\lambda }.v=d_{\lambda }v$ ，而每一 i 有 $e_{i}.v=0$ 。 類似地，吾人亦有最低權表示，生成自單一權向量 v，而每一 i 有 $f_{i}.v=0$ 。

設${\mathfrak {g}}$為 Kac-Moody 代數，則在其任何不可約最高權表示（以$\nu$為最高權）中，權重數相等於$U({\mathfrak {g}})$之數最高權表示。若其最高權為支配整權 （即 $2(\mu ,\alpha _{i})/(\alpha _{i},\alpha _{i})$ 為非負整數）則權譜在韋爾羣 作用下不變，而此表示可積。

相逆，若有一可積表示，則其最高權向量 v 適 $k_{\lambda }.v=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}v$，其中 $c_{\lambda }$ 為複數，使

• $c_{0}=1$,

• 每權 $\lambda$ 與$\mu$

有$c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu }$,

• $c_{2\alpha _{i}}=1$ for all i,

• $\nu$ 為整支配整權。

二表示之 張量積亦為一表示。 每$U_{q}({\mathfrak {g}})$中一元 x ， 每向量 v 與 w 有作用：$x.(v\otimes w)=\Delta (x).(v\otimes w)$， 使 $k_{\lambda }.(v\otimes w)=k_{\lambda }.v\otimes k_{\lambda }.w$；對於餘積 $\Delta _{1}$， 有 $e_{i}.(v\otimes w)=k_{i}.v\otimes e_{i}.w+e_{i}.v\otimes w$ 與 $f_{i}.(v\otimes w)=v\otimes f_{i}.w+f_{i}.v\otimes k_{i}^{-1}.w$.

上述最高權表示為一一維表示 ( $k_{\lambda }=c_{\lambda }$，) 與一由 $v_{0}$ 生成之最高權表示 （每權 $\lambda$ 有 k_{\lambda}.v_0 = q^{(\lambda,\nu)} v_0</math> , 而每i有 $e_{i}.v_{0}=0$ ）之張量積。

特别地，若${\mathfrak {g}}$ 為有限維李代數，則支配整最高權表示乃有限維。

最高權表示張量積之直和分解 同一般 Kac-Moody 代數表示之直和分解。

半三角性

情況一：q非 1 之根

嚴格講，$U_{q}(G)$ 非半三角霍普夫代數 ，唯彼有一無窮級數R可假作R-矩陣。 此無窮級數為$e_{i}$ 、 $f_{i}$ 與嘉當生成元 $t_{\lambda }$之表示式，其中 $k_{\lambda }$形式地當作 $q^{t_{\lambda }}$。此式可分成兩因式之積：$q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}$ 與 一無窮和，其中 $\{\lambda _{j}\}$ 嘉當子代數之對偶空間之基，而$\{\mu _{j}\}$ 為其對偶基，$\eta$ 為 +1 或 -1。

此無窮級數 R 可作用於 兩不可約最高權表示（或兩最低權表示）之張量積。更準確地講，若 v 為權- $\alpha$- 向量，w為權- $\beta$-向量，則 $q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}.(v\otimes w)=q^{\eta (\alpha ,\beta )}v\otimes w$，而最高權（或最低權）之性使另一因式於 $v\otimes w$ 之作用成有限和。

更準確地講， 若 V 為最高權表示，則無限和R在 $V\otimes V$上定義有一作用，且 （作為 $\mathrm {Hom} (V)\otimes \mathrm {Hom} (V)$之元）符 楊振寧-Baxter 方程，故定義一辮羣之表示，亦定義扭結之擬不變量。

情況二：q為 1 之根

待修

晶體基 - q=o時之量子羣

柏原正樹曾研究$q\to 0$時量子羣之極限行為。 由$U_{q}(G)$之定義關係，可視 $U_{q}(G)$ 為${\mathbb {Q} }(q)$ 上之霍普夫代數。

設 $\alpha _{i}$ 為簡單根，$n$為非負整數，設 $e_{i}^{(n)}:=e_{i}^{n}/[n]_{q_{i}}!$ ， $f_{i}^{(n)}:=f_{i}^{n}/[n]_{q_{i}}!$ (特别地， $e_{i}^{(0)}=f_{i}^{(0)}=1$)。設$M$為可積表示，$\lambda$為一權，$u\in M_{\lambda }$ （即權$\lambda$向量） 可唯一地分解成

• $u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n)}v_{n}$,

其中 $u_{n}\in \mathrm {ker} (e_{i})\cap M_{\lambda +n\alpha _{i}}$, $v_{n}\in \mathrm {ker} (f_{i})\cap M_{\lambda -n\alpha _{i}}$，若$u_{n}\neq 0$ 則必有 $n+{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0$， 而若 $v_{n}\neq 0$ 則必有 $n-{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0$。 線性 影射${\tilde {e}}_{i}:M\to M$ 與 ${\tilde {f}}_{i}:M\to M$ 可於$M_{\lambda }$上定義：

• ${\tilde {e}}_{i}u=\sum _{n=1}^{\infty }f_{i}^{(n-1)}u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }e_{i}^{(n+1)}v_{n}$，

• ${\tilde {f}}_{i}u=\sum _{n=0}^{\infty }f_{i}^{(n+1)}u_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }e_{i}^{(n-1)}v_{n}$。

設$A$為所有${\mathbb {Q} }(q)$ 中 於 $q=0$ 正則 (regular) 之有理函數所成之整環。（即此類 $f(q)$：存在多項式 $g(q),h(q)\in {\mathbb {Q} }[q]$ 使 $f(q)=g(q)/h(q)$ ，且$h(0)\neq 0$）。 $M$ 之一 晶體基為一有序對 $(L,B)$，其中

• $L$ 為$M$之一自由$A$-子模，其使 $M={\mathbb {Q} }(q)\otimes _{A}L$;

• $B$ 為$\mathbb {Q}$ 上向量空間$L/qL$ 之一 $\mathbb {Q}$-基,

• $L=\oplus _{\lambda }L_{\lambda }$，且$B=\sqcup _{\lambda }B_{\lambda }$，其中$L_{\lambda }=L\cap M_{\lambda }$ ，而$B_{\lambda }=B\cap (L_{\lambda }/qL_{\lambda })$,

• 每i 有${\tilde {e}}_{i}L\subset L$ 且${\tilde {f}}_{i}L\subset L$ ；

• 每 i有${\tilde {e}}_{i}B\subset B\cup \{0\}$ 且 ${\tilde {f}}_{i}B\subset B\cup \{0\}$ ；

• 設 $b\in B$ ， $b'\in B$，每i，有 ${\tilde {e}}_{i}b=b'$ 若且僅若${\tilde {f}}_{i}b'=b$。

概念上， $e_{i}f_{i}$ 與 $f_{i}e_{i}$於可積模上 、$q=0$時之作用 常有異。 吾人引進其上之線性映射${\tilde {e}}_{i}$ 與 ${\tilde {f}}_{i}$ 以使 ${\tilde {e}}_{i}{\tilde {f}}_{i}$ 與 ${\tilde {f}}_{i}{\tilde {e}}_{i}$於該模上、 $q=0$時之作用為正則。 $M$有一由權向量 ${\tilde {B}}$ 組成之${\mathbb {Q} }(q)$-基，使 ${\tilde {e}}_{i}$ 與${\tilde {f}}_{i}$ 於其上、$q=0$ 時之作用為正則。 吾人限制此表示於此基所生成之 $A$-模上， 再於$q=0$時計算其基向量、, the $A$-子模、 ${\tilde {e}}_{i}$ 與 ${\tilde {f}}_{i}$ 之作用。 再者，吾人可擇此基，使 $q=0$時，每${\tilde {e}}_{i}$ 與 每 ${\tilde {f}}_{i}$ 互為轉置(are represented by mutual transposes)， 而基向量則映射至基向量或 0。

每晶體基之訊息，可記以一每邊有記號之有向圖。 圖中每一頂點代表 $L/qL$之 $\mathbb {Q}$-基 $B$ 之一元，每一自 頂點$v_{1}$ 指 頂點$v_{2}$ 之有向邊 i代表等式 $b_{2}={\tilde {f}}_{i}b_{1}$ （或 $b_{1}={\tilde {e}}_{i}b_{2}$），其中$b_{1}$為$v_{1}$相應之基向量 ，為$b_{2}$相應之基向量 $v_{2}$。此圖定義${\tilde {e}}_{i}$ 與 ${\tilde {f}}_{i}$ 於 $q=0$時之作用。 設一可積表示有一晶體基；彼不可約若且僅若其圖連通。

若一可積表示具晶體基，則其權譜 等於 晶體基之權譜，亦等於相應之 Kac-Moody 代數之權譜。 晶體基中權之重數 亦同 其於相應之 Kac-Moody 代數表示中之重數。 柏原正樹嘗證

 定理：每一可積最高權表示有一晶體基。  

晶格基之張量積

設 $M$為一可積表示，$(L,B)$為其晶體基。 設$M'$ 為一可積表示， $(L',B')$為其晶體基。賦與每晶體基一餘積 $\Delta$：

• $\Delta (k_{\lambda }):=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda },$
• $\Delta (e_{i})=e_{i}\otimes k_{i}^{-1}+1\otimes e_{i},$
• $\Delta (f_{i})=f_{i}\otimes 1+k_{i}\otimes f_{i}$。

可積模$M\otimes _{{\mathbb {Q} }(q)}M'$ 有一晶體基$(L\otimes _{A}L',B\otimes B')$，其中 $B\otimes B'=\{b\otimes _{\mathbb {Q} }b':b\in B,\ b'\in B'\}$。設 $b\in B$為基向量；設$\epsilon _{i}(b):=\mathrm {max} \{n\geq 0:{\tilde {e}}_{i}^{n}b\neq 0\}$；設 $\phi _{i}(b):=\mathrm {max} \{n\geq 0:{\tilde {f}}_{i}^{n}b\neq 0\}$。${\tilde {e}}_{i}$ 與 ${\tilde {f}}_{i}$ 於 $b\otimes b'$ 上之作用為

• ${\tilde {e}}_{i}(b\otimes b')=\left\{{\begin{matrix}{\tilde {e}}_{i}b\otimes b',&\mathrm {if} \ \phi _{i}(b)\geq \epsilon _{i}(b'),\\b\otimes {\tilde {e}}_{i}b',&\mathrm {if} \ \phi _{i}(b)<\epsilon _{i}(b'),\end{matrix}}\right.$

• ${\tilde {f}}_{i}(b\otimes b')=\left\{{\begin{matrix}{\tilde {f}}_{i}b\otimes b',&\mathrm {if} \ \phi _{i}(b)>\epsilon _{i}(b'),\\b\otimes {\tilde {f}}_{i}b',&\mathrm {if} \ \phi _{i}(b)\leq \epsilon _{i}(b').\end{matrix}}\right.$

兩可積最高權表示之積可分解成不可約子表示；此分解為其圖之連通部所定。

緊致矩陣量子羣

S.L. Woronowicz引進緊致矩陣量子羣。 緊致矩陣量子羣為一種抽象結構；於其上之「連續函數」為某C* 代數中之元素。 緊致矩陣量子羣上之幾何為非交換幾何之特例。

緊致Hausdorff 空間上之複值連續函數為一交換C*-代數。由蓋爾芳特定理，每一交換C*-代數，存在唯一（除同肧關係）緊致Hausdorff 空間，其上之複值連續函數 同構於 原本之C*-代數。

每一緊拓樸羣G，存在一 C*-algebra 態射 $\Delta :C(G)\to C(G)\otimes C(G)$ （其中$C(G)\otimes C(G)$ 為 C*-algebra 張量積 －$C(G)$ 與 $C(G)$ 之代數張量積之完備化），使得每$f\in C(G)$、每 $x,y\in G$， 有 $\Delta (f)(x,y)=f(xy)$ （其中 $(f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)$ ，而 $f,g\in C(G)$ 且 $x,y\in G$)。 亦有一線性、積性態映射 $\kappa :C(G)\to C(G)$，使 每 $f\in C(G)$ 與 $x\in G$ 有$\kappa (f)(x)=f(x^{-1})$。嚴格講，若 G 非有限羣，$C(G)$ 不成一霍普夫代數。然而，吾人可用G之一有限表示以生成 $C(G)$之一 *-子代數，是為一 Hopf *-代數。專言之，若$g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}$ 為$G$之一 $n$-維表示，則每 $i,j$ 有$u_{ij}\in C(G)$，且$\Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}$。然則由 $u_{ij}$ 與 $\kappa (u_{ij})$生成之 *-代數乃一 Hopf *-代數：其餘單位元為各 $\epsilon (u_{ij})=\delta _{ij}$ 所定（其中$\delta _{ij}$為Kronecker delta，取值０ 或１）, 其對映為 $\kappa$，其單位元為$1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}$。

推而廣之，一緊矩陣量子羣定義自序對 $(C,u)$，其中 $C$ 為一 C*-代數，而$u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}$為 $C$ 上之矩陣，使

• $C$內生成自$u$之矩陣元之 *-子代數 $C_{0}$，於$C$ 內稠密。

• 存在 C*-代數態射$\Delta :C\to C\otimes C$ （其中$C\otimes C$ 為 C*-代數張量積 - $C$ 與 $C$之代數張量積之完備化）使每 i,j 有 $\Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}$。人稱$\Delta$為餘積；

• 存在線性反積性映射$\kappa :C_{0}\to C_{0}$ （「餘逆元」）使每 $v\in C_{0}$ 有$\kappa (\kappa (v*)*)=v$，且 $\sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I$，其中$I$為$C$之單位元。因 $\kappa$ 之反積性，每$v,w\in C_{0}$ 有 $\kappa (vw)=\kappa (w)\kappa (v)$。

由連續性，$C$ 上之餘積有餘結合性。

一般$C$ 非雙代數；$C_{0}$ 為一Hopf *-代數。

概念上，可視$C$為 緊致矩陣量子羣上連續函數所成之 *-代數，$u$ 為緊致矩陣量子羣之一有限維表示。

一緊致矩陣量子羣之有限維表示 為一Hopf *-代數之 餘表示 。 吾人稱表示 v 為么正， 若其矩陣為么正（或，等價地，若每 i, j有$\kappa (v_{ij})=v_{ji}^{*}$ ）。

例：$SU_{\mu }(2)$，其中參量 $\mu$ 為一正整數。故 $SU_{\mu }(2)=(C(SU_{\mu }(2),u)$, 其中 $C(SU_{\mu }(2))$ 為$\alpha$ and $\gamma$生成之 C*-代數 ，其定義關係為

$\gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,\ \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,\ \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,$

而 $u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),$ 故其餘積定義自 $\Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\gamma \otimes \gamma ^{*}$, $\Delta (\gamma )=\alpha \otimes \gamma +\gamma \otimes \alpha ^{*}$, 其餘逆元定義自$\kappa (\alpha )=\alpha ^{*}$, $\kappa (\gamma )=-\mu ^{-1}\gamma$, $\kappa (\gamma ^{*})=-\mu \gamma ^{*}$, $\kappa (\alpha ^{*})=\alpha$。注意：$u$ 為一表示，但非么正。 $u$等價於么正表示 $v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).$

換言之，$SU_{\mu }(2)=(C(SU_{\mu }(2),w)$, 其中 $C(SU_{\mu }(2))$ 為$\alpha$ 與 $\beta$生成之 C*-代數 ，其定義關係為

$\beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,\ \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,\ \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,$

而 $w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),$ 故其餘積定義自 $\Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\mu \beta \otimes \beta ^{*}$, $\Delta (\beta )=\alpha \otimes \beta +\beta \otimes \alpha ^{*}$，且其餘逆元定義自$\kappa (\alpha )=\alpha ^{*}$, $\kappa (\beta )=-\mu ^{-1}\beta$, $\kappa (\beta ^{*})=-\mu \beta ^{*}$, $\kappa (\alpha ^{*})=\alpha$。注意：$w$ 乃一么正表示。此等表示可以$\gamma ={\sqrt {\mu }}\beta$ 互相轉換。

當$\mu =1$，則$SU_{\mu }(2)$ 為羣 $SU(2)$。

另見

• 李雙代數
• 泊松-李羣

閲

• Elementary introduction to quantum groups
• Christian Kassel. Quantum Groups (Springer: 1994). ISBN 0-387-94370-6.
• Shahn Majid, N. J. Hitchin (series editor). A Quantum Groups Primer (Cambridge University Press: 2002). ISBN 0-521-01041-1.