量子群

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量子群(quantum group)乃一系列代數結構之通稱,霍普夫代數(Hopf algebra)之特例,亦可視為q-量子化之李代數也。雖其名曰「羣」,惟彼非矣。以其表示論可構楊振寧-Baxter 方程之解,與扭結不變量

Drinfeld 所謂之量子群[]

狹義上最常見之量子羣,又曰量子通用包絡代數 (quantum universal envelopping algebra, QUE algebra), 來自Vladimir DrinfeldNicolai ReshetikhinMichio Jimbo 等之學,乃Kac-Moody 代數[一]通用包絡q-形變。 設

  • 為一Kac-Moody 代數,
  • 為其嘉當矩陣
  • q為非 0 非 1 之複數,

量子羣為一單元結合代數[二] ,有生成元:

  • (其中 屬於權格[三] 每一 i 有:),
  • , 其中 為簡單根;
  • , 其中 為簡單根;
  • ;

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • , for ,
  • , for ,
其中q-階乘[四]q-序列 [五]

末二關係式曰 「q-舍爾關係」[六],即舍爾關係之q-形變

q 逼近 1,此等關係式漸近於一般 通用包絡代數[七] 之關係式,而各元之極限為:

其中 為嘉當子代數一元,其與中任何元h 有關係:。 存在數種餘結合餘積[八] 結構使成為霍普夫代數,例如:

  • , , ,
  • , , ,
  • , , , 其中,若有需要,吾人可加入生成元 ,而 λ 為某權格元素與某根格元素之半 之和;

同時,吾人有反餘積[九],其中 ,即

  • , , ,其中 ,
  • , , , where ,
  • , , , where .

此等餘積有同一餘單位元[一〇], ,

對映[一一]各為:

  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

換一角度, 為域上一代數--上以 q 為變量之有理函數域;

亦可視 為域上一代數--上以 q 為變量之有理函數域(見下文:q=0 時之量子羣一節)。

表示理論[]

量子羣有多種表示。

由其霍普夫代數結構, 有在其自身上之伴隨表示[一二],如下:

其中 為常用符號(所謂「Sweedler 符號」)

情況一:q非 1 之根[]

權表示[一三](或曰「權模[一四] )重要。 權模有由權向量[一五]所成之基。 權向量即非零向量v, 使每 ,其中每為複數,使

  • ,
  • 每權 ,。


若 權格中每一 ,則吾人稱 v 之權為

可積表示[一六]者, 為一權表示,於其上 and 之作用俱為零冪 (即其中每一 v,存在正整數k使每一 i)。此時,各數 ,其中 屬於權格,而 為複數,使得

  • ,
  • 每權,
  • i

最高權表示尤其重要。最高權模生自單一權向量 v;每一權v ,而每一 i 。 類似地,吾人亦有最低權表示,生成自單一權向量 v,而每一 i

為 Kac-Moody 代數,則在其任何不可約最高權表示(以為最高權)中,權重數相等於之數最高權表示。若其最高權為支配整權[一七] (即 為非負整數)則權譜在韋爾羣 作用下不變,而此表示可積。

相逆,若有一可積表示,則其最高權向量 v,其中 為複數,使

  • ,
  • 每權

,

  • for all i,
  • 為整支配整權。

二表示之 張量積亦為一表示。 每中一元 x , 每向量 vw 有作用:, 使 ;對於餘積 , 有 .

上述最高權表示為一一維表示 ( ,) 與一由 生成之最高權表示 (每權 有 k_{\lambda}.v_0 = q^{(\lambda,\nu)} v_0</math> , 而每i )之張量積。

特别地,若 為有限維李代數,則支配整最高權表示乃有限維。

最高權表示張量積之直和分解 同一般 Kac-Moody 代數表示之直和分解。

情況二:q為 1 之根[]

半三角性[]

情況一:q非 1 之根[]

嚴格講,半三角霍普夫代數 [一八],唯彼有一無窮級數R可假作R-矩陣。 此無窮級數為 與嘉當生成元 之表示式,其中 形式地當作 。此式可分成兩因式之積: 與 一無窮和,其中 嘉當子代數之對偶空間之基,而 為其對偶基, 為 +1 或 -1。

此無窮級數 R 可作用於 兩不可約最高權表示(或兩最低權表示)之張量積。更準確地講,若 v 為權- - 向量,w為權- -向量,則 ,而最高權(或最低權)之性使另一因式於 之作用成有限和。

更準確地講, 若 V 為最高權表示,則無限和R上定義有一作用,且 (作為 之元)符 楊振寧-Baxter 方程,故定義一辮羣之表示,亦定義扭結擬不變量[一九]

情況二:q為 1 之根[]

待修

晶體基 - q=o時之量子羣[]

柏原正樹曾研究時量子羣之極限行為。 由之定義關係,可視 上之霍普夫代數

簡單根為非負整數,設 (特别地, )。設為可積表示,為一權, (即權向量) 可唯一地分解成

  • ,

其中 , ,若 則必有 , 而若 則必有 。 線性 影射 可於上定義:

為所有 中 於 正則 (regular) 之有理函數所成之整環。(即此類 :存在多項式 使 ,且)。 之一 晶體基[二〇]為一有序對 ,其中

  • 之一自由-子模,其使 ;
  • 上向量空間 之一 -基,
  • ,且,其中 ,而,
  • i
  • i
  • ,每i,有 若且僅若


概念上, 於可積模上 、時之作用 常有。 吾人引進其上之線性映射 以使 於該模上、 時之作用為正則。 有一由權向量 組成之-基,使 於其上、 時之作用為正則。 吾人限制此表示於此基所生成之 -模上, 再於時計算其基向量、, the -子模、 之作用。 再者,吾人可擇此基,使 時,每 與 每 互為轉置(are represented by mutual transposes), 而基向量則映射至基向量或 0。

每晶體基之訊息,可記以一每邊有記號之有向圖。 圖中每一頂點代表 -基 之一元,每一自 頂點 指 頂點 之有向邊 i代表等式 (或 ),其中相應之基向量 ,為相應之基向量 。此圖定義時之作用。 設一可積表示有一晶體基;彼不可約若且僅若其圖連通

若一可積表示具晶體基,則其權譜 等於 晶體基之權譜[二一],亦等於相應之 Kac-Moody 代數之權譜。 晶體基中權之重數 亦同 其於相應之 Kac-Moody 代數表示中之重數。 柏原正樹嘗證

 定理:每一可積最高權表示有一晶體基。  


晶格基之張量積[]

為一可積表示,為其晶體基。 設 為一可積表示, 為其晶體基。賦與每晶體基一餘積[二二]

可積模 有一晶體基,其中 。設 為基向量;設;設 上之作用為

兩可積最高權表示之積可分解成不可約子表示;此分解為其圖之連通部所定。

緊致矩陣量子羣[]

S.L. Woronowicz引進緊致矩陣量子羣。 緊致矩陣量子羣為一種抽象結構;於其上之「連續函數」為某C* 代數中之元素。 緊致矩陣量子羣上之幾何為非交換幾何之特例。

緊致Hausdorff 空間上之複值連續函數為一交換C*-代數。由蓋爾芳特定理,每一交換C*-代數,存在唯一(除同肧關係)緊致Hausdorff 空間,其上之複值連續函數 同構於 原本之C*-代數。

每一緊拓樸羣G,存在一 C*-algebra 態射 (其中 為 C*-algebra 張量積 - 之代數張量積之完備化),使得每、每 , 有 (其中 ,而 )。 亦有一線性、積性態映射 ,使 每 。嚴格講,若 G 非有限羣, 不成一霍普夫代數。然而,吾人可用G之一有限表示以生成 之一 *-子代數,是為一 Hopf *-代數。專言之,若之一 -維表示,則每 ,且。然則由 生成之 *-代數乃一 Hopf *-代數:其餘單位元為各 所定(其中Kronecker delta,取值0 或1), 其對映為 ,其單位元為

推而廣之,一緊矩陣量子羣定義自序對 ,其中 為一 C*-代數,而 上之矩陣,使

  • 內生成自之矩陣元之 *-子代數 ,於 內稠密。
  • 存在 C*-代數態射 (其中 為 C*-代數張量積 - 之代數張量積之完備化)使每 i,j 有 。人稱為餘積;
  • 存在線性反積性映射 (「餘逆元」)使每 ,且 ,其中之單位元。因 之反積性,每

由連續性, 上之餘積有餘結合性。

一般雙代數 為一Hopf *-代數。

概念上,可視為 緊致矩陣量子羣上連續函數所成之 *-代數, 為緊致矩陣量子羣之一有限維表示。

一緊致矩陣量子羣之有限維表示 為一Hopf *-代數之 餘表示 [二三]。 吾人稱表示 v 為么正, 若其矩陣為么正(或,等價地,若每 i, j )。

例:,其中參量 為一正整數。故 , 其中 and 生成之 C*-代數 ,其定義關係為

故其餘積定義自 , , 其餘逆元定義自, , , 。注意: 為一表示,但非么正。 等價於么正表示

換言之,, 其中 生成之 C*-代數 ,其定義關係為

故其餘積定義自 , ,且其餘逆元定義自, , , 。注意: 乃一么正表示。此等表示可以 互相轉換。

,則

另見[]

[]

[]

  1. 例如半單李代數
  2. (en:unital associative algebra)
  3. (en:weight lattice)
  4. 為任何正整數
  5. (q-Serre relations)
  6. (en:universal enveloping algebra)
  7. coassociative coproducts
  8. reverse coproduct
  9. en:counit
  10. antipode
  11. en:adjoint representation
  12. en:weight representation
  13. en:weight module
  14. en: weight vector
  15. en:integrable representation
  16. en:dominant integral weight
  17. en:quasitriangular Hopf algebra
  18. en:quasi-invariant
  19. en:crystal base
  20. en:weight spectrum
  21. en:coproduct
  22. corepresentation -- 一餘單位餘結合餘代數之餘表示 為一方矩陣 ,其項來自 (故)使 每 ,且 每