算術基本定理

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

算術基本定理，亦名質數唯一分解定理。其文曰：自然數之大於一者，皆可析作諸質數之積，且其途惟一也。

泰西疇人歐基里得先證之也，略述如下：

證諸數皆可析之：以反證之法：設有數，其不可析也，以其最小者為甲（A），則依本理所述，其非一（A$\neq$1），亦非質數，蓋質數可記曰甲即甲也（A＝A），故甲必為合數。依合數之定義，其必可析為兩自然數之積，此兩自然數者，非一，亦非本數也，且必小於甲，記作甲等於乙乘以丙（A=B $\times$ C），則乙丙可析為質數之積乎？若可析（B=B₁$\times$B₂，C=C₁ $\times$ C₂），則甲亦可析也；是兩數之析式再積所得也（A=B₁$\times$B₂$\times$C₁ $\times$ C₂）；若乙丙二者有不可析者，而以其小於甲，故知甲非最小之不可析之數也，是歧於初設也，蓋初設謬也。故得諸數必可析也。

又證其途唯一：先有引論曰：有質數甲，其可整除乙丙之積（A $\mid$ BC），則或有甲整除乙（A $\mid$ B），或有甲整除丙（A $\mid$ C），無他。證引論曰：若甲不可整除乙（A $\nmid$ B），則甲乙之最大公約數為一，依貝祖等式，必有數子（X）、丑（Y），使甲子之積加乙丑之積，其和為一（XA+YB＝1），故得可示丙以甲乙子丑（C＝C（XA+YB）＝CXA+YBC）。因甲整除乙丙之積，故上式之右可为甲整除，故得甲整除丙，引論得證。

既證引論，乃證曰：再行反證之法，設有某數，析其為質數之積，其途有二，取其最小者，名之為丁（D），則可記作（D＝O₁P₁Q₁=O₂P₂Q₂）。則數寅可整除其後式（O₁$\mid$ O₂P₂Q₂），故依引論，後式中必有一數可為寅整除，名其為卯（O₂），而卯亦為素數，故得寅卯相等（O₁＝O₂），是丁除以寅或卯之商戊（D'），其析以質數之法亦有二途也（D'＝P₁Q₁=P₂Q₂）。戊小於丁，故丁非析為質數之積有二途之最小者也，此與初設相歧，乃初設謬也。故得析合數以質數之積，其途惟一也。