質數分佈定理

質數分布定理，所以究質數之分佈。

定理一[纂]

質數之以無窮

假設質數有窮，則有

$p_{1},p_{2},\cdots \cdots ,p_{n},$ _{p即質數(prime number)}

令諸質數相乘，復加壹，得r

$\left[\textstyle \prod _{k=1}^{n}\displaystyle p_{k}\right]+1=r$

令r除以質數，得

$r\div p_{j}=\eta +{\frac {1}{p_{j}}},\eta \in \mathrm {Z} ,{\frac {1}{p_{j}}}\in (0,{\frac {1}{2}}]$

故 ${\frac {r}{p_{j}}}\not \in \mathrm {Z}$ ，故r屬質數，有悖於假設，故題得證。

質數皆相隣於 $6n,n\in \mathrm {N^{*}}$ ，且 $2,3$ 除外。

$2n'\div 2=n',n'\in \mathrm {N^{*}}$

故

$6n,6n+2,6n+4\in 2n$

同理

$3n'\div 3=n',n'\in \mathrm {N^{*}}$

故

$6n+3\in \mathrm {N^{*}}$

故命題得證

十進制

六進制

質數漸稀

由定理二可知

$p_{3}=6-1,p_{4}=6+1,p_{5}=2\times 6-1,p_{6}=2\times 6+1,\mathrm {etc}$

又

$p_{3}\cdot p_{3}=(6-1)^{2}=6^{2}-2\cdot 6+1,p_{3}\cdot p_{4}=6^{2}-1,\mathrm {etc}$

且謂之質數分布缺陷，且缺陷可無限耦合疊加，故命題得證。