註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
群者,抽對稱性之象,今代數學之本也。起之者,挪威國疇人阿貝爾也;光之者,法國疇人伽羅瓦耳。
群,三元之組也,曰集「天」、運算「乘」、元「幺」者,合:
- 幺,天之元也。[一](非空性)
- 乘,映射也,二元運算于天也。蓋:凡天之元甲乙者,有二元之組甲乙,映以乘于丙者,亦天之元也。(封閉性) 今凡甲乙映以乘于丙者,甲乙得丙記之。又記,丙,甲乙之積也。
- 凡天之元甲乙丙者,甲乙之積與丙之積,同甲與乙丙之積之積。(結合性)
- 夫幺,凡天之元甲者,幺甲同甲幺,亦同乎甲之己身。(幺存性)
- 凡天之元甲者,其必有天之元甲丅,使甲甲丅同甲丅甲,均積作幺,稱甲丅以甲之逆也。(逆存性)
凡合上律三元組者曰群。常稱集「天」為群,運算、幺,略而不表也。又若:
稱交換群,又,阿貝爾群。
上文易拉丁字述之從下:
群,三元之組,曰
者,合:
,
之元也。(非空性)
,映射也,二元運算于
也。蓋:凡
,有二元之組
,映以
于
也。(封閉性)
- 凡
,有
。(結合性)
- 夫
,凡
,有
。(幺存性)
- 凡
,其必有
,使
。(逆存性)
凡合上律三元組者曰群。常稱集
為群,
、
,略而不表也。又若:
- 夫群
,凡
者,必有
。(交換性)
稱交換群,又,阿貝爾群。
- 整數集合其加法,交換群也,取幺以數〇。
- 整數集合其乘法,非群也。蓋若為群,取幺無非數一耳,而二無可逆者。
- 偶數集合其加法,非群也,蓋無幺取耳。
- 「負一,〇,一」合整數常加之法,非群也,蓋一一之積無存與此耳。合模三同餘而加之法,群也。
- 整數集,合運算以凡甲乙,得積甲乙之合又自增以一(
)者,交換群也,取幺以負一,又取逆以負二減之(
),合也。
- 可逆矩陣合其乘法,群也。然非交換群耳。
- 四元數合其乘法,群也。然非交換群耳。
- ↑ 蓋曰:天非空也。