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群 (代數)

今本(此為底本,未經審校)
文出維基大典
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

者,抽對稱性之象,今代數學之本也。起之者,挪威國疇人阿貝爾也;光之者,法國疇人伽羅瓦耳。

定義

[]

,三元之組也,曰集「天」、運算「乘」、元「幺」者,合:

  • 幺,天之元也。[](非空性)
  • 乘,映射也,二元運算于天也。蓋:凡天之元甲乙者,有二元之組甲乙,映以乘于丙者,亦天之元也。(封閉性) 今凡甲乙映以乘于丙者,甲乙得丙記之。又記,丙,甲乙之積也。
  • 凡天之元甲乙丙者,甲乙之積與丙之積,同甲與乙丙之積之積。(結合性
  • 夫幺,凡天之元甲者,幺甲同甲幺,亦同乎甲之己身。(幺存性)
  • 凡天之元甲者,其必有天之元甲,使甲甲同甲甲,均積作幺,稱甲以甲之逆也。(逆存性)

凡合上律三元組者曰群。常稱集「天」為群,運算、幺,略而不表也。又若:

  • 凡群天之元甲乙者,甲乙必同乙甲。(交換性)

交換群,又,阿貝爾群。

上文易拉丁字述之從下:

群,三元之組,曰 者,合:

  • 之元也。(非空性)
  • ,映射也,二元運算于 也。蓋:凡 ,有二元之組 ,映以 也。(封閉性)
  • ,有 。(結合性)
  • ,凡 ,有 。(幺存性)
  • ,其必有 ,使 。(逆存性)

凡合上律三元組者曰群。常稱集 為群,,略而不表也。又若:

  • 夫群 ,凡 者,必有 。(交換性)

稱交換群,又,阿貝爾群。

[]
  • 整數集合其加法,交換群也,取幺以數〇。
  • 整數集合其乘法,非群也。蓋若為群,取幺無非數一耳,而二無可逆者。
  • 偶數集合其加法,非群也,蓋無幺取耳。
  • 「負一,〇,一」合整數常加之法,非群也,蓋一一之積無存與此耳。合模三同餘而加之法,群也。
  • 整數集,合運算以凡甲乙,得積甲乙之合又自增以一()者,交換群也,取幺以負一,又取逆以負二減之(),合也。
  • 可逆矩陣合其乘法,群也。然非交換群耳。
  • 四元數合其乘法,群也。然非交換群耳。

[]
  1. 蓋曰:天非空也。