歐氏幾何

歐氏幾何，歐几里得始創也。初述於《幾何原本》。獨尊泰西二千年，時幾何必歐氏耳，及傳中華，徐光啟亦云《幾何原本》不可增刪；迨十九世紀，高斯、羅巴切夫斯基、波約三人破之，立新幾何，故其亦曰經典幾何。二十世紀初，相對論立，其以非歐幾何為本，歐氏幾何獨尊物理不再耳！

公理

歐氏幾何，公理系統之始。《幾何原本》列五公理：

一、此點至彼點可作一線段。

二、線段可從彼界直行引長之。

三、線段作半徑，界為心，可作一圓。

四、直角皆等。

五、角甲乙丙合角乙甲丁小于二直角者，則乙丙從丙直行引長必相交甲丁從丁直行引長。

尚有小公理若干，在此不述。

然公理五亦稱平行公理，等價如下命題：

此點不在本直線上，則有唯一直線過此點平行于本直線。

非歐幾何

首四公理，甚為簡明，然平行公理，冗長甚耳。泰西疇人嘗以首四公理證平行公理，皆不可得。十九世紀，高斯等人以新公理代平行公理，得新幾何，今曰非歐幾何。然十七世紀初，德薩格創射影幾何，後彭賽列光之，謂平行線相交于無限遠，今亦歸非歐幾何之屬也。

有疇人棄公理五，得絕對幾何。《幾何原本》首廿八定理皆絕對幾何也。

希爾伯特公理

以當世數學觀之，《幾何原本》殊不嚴謹。希爾伯特遂於一八九九年作二十公理，以完歐氏幾何耳。