基本不等式者，所以究平均數之不等性也。式曰
a + b 2 ⩾ a b , a , b ∈ [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}},\quad a,b\in [0,+\infty )}
實數自乘，絕無負數，故：
( a − b ) 2 ⩾ 0 {\displaystyle (a-b)^{2}\geqslant 0}
移項左右，得：
( a + b ) 2 ⩾ 4 a b {\displaystyle (a+b)^{2}\geqslant 4ab}
a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 咸非負，取算數平方根，則曰：
a + b ⩾ 2 a b {\displaystyle a+b\geqslant 2{\sqrt {ab}}}
是爲所欲證矣。
、
咸非負，取算數平方根，則曰：
