九章算術

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九章算術細草圖說

九章算術》九卷,算經也。《算經十書》之最要者。著者不可考。 公以為歷代各家增補訂纂,流成今本。收於四庫全書子部。有二百四十六題二百有二術,質素俱佳,人嘉納之。 [一]

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《九章算術》凡二百四十六題,分九類,問後列解。

  1. 方田章:田畝面積分數之算。統會分數以述其理者,舉世莫先於《九章》。 [二]
  2. 粟米章:市粟米市之法,內有比例之題。 [二]
  3. 衰分章:述衰分分配比例之法。 [二]
  4. 少廣章:述開平方開立方之法。 [二]
  5. 商功章:述砼、工量之問,以體積之算爲主。 [二]
  6. 均輸章:比例之題,若計云者。 [二]
  7. 盈不足章:答雙設法之問[二][三]
  8. 方程章:解方程之法及正負數之加減法。究此道者,莫早於《九章》。 [二]
  9. 勾股章:述勾股之法也。 [二]

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實數[]

《九章》之於自然數及其運算,未詳加論述,然其使用不可不謂廣。又盡列分數之義、質、四則運算。如:約分術、合分術加法、減分術減法、乘分術乘法、經分術除法、課分術較大小、平分術平均數。《九章》亦見負數之名,列其加、減之則[四][五],然乘除未載。 亦論自然數、分數、正負數,又記特理[五]

比例與盈虧演算法[]

《九章》列數法。有今有術以所有數乘所求率為實,以所有率為法,實如法而一、衰分術各置列衰,副併為法,以所分乘未併者各自為實,實如法而一。 合衰分術、反比例,曰反衰術。 亦有反比例演算法、複比例演算法、連比例演算法、配分比例演算法。 集一盈一不足,兩盈、兩不足、一盈一適足、一不足一適足之問,廣列其法,曰盈不足術,預設一答,若合之,則答乃答也,若不合,非盈即不足。又含初等超越方程之題,可解近似之解[五]

求積與勾股[]

所載圖形,多直線與圓,算田也,述計方田、圭田、邪田、箕田、圓田、弧田、環田、宛圓面積之法,獨成一家[五]

勾股計算有四類:勾股互求、勾股整數、勾股兩容、勾股相似[五]

勾股互求,可推求他線。 勾股整數,推求勾、股、弦,而均得整數。 勾股兩容,可求勾股形內含正方形及內切圓之法。 勾股相似,可測遠近,求高卑。 [五]

《九章算術》答問有三部:體積演算法、面積演算法、線段演算法,分屬商功、方田、勾股三章[五]

開方與方程[]

平方術、開立方術、解線性方程組之法,亦《九章》之所述,而中國古算學之要者也。《九章》述之也詳盡矣。開平方術、開立方術,可解二項二次方程、二項三次方程,亦可解常二次數值方程、三次數值方程。考中國算學史,高次數值方程之解,即以之為基。[五]

方程章所論「方程」,大類方今線性方程組也。 所論「方程術」,亦曰「直除法」。 「直除」者,累減也,「直除法」者,累減消元法也,其法同今世[五]

方程章列十八題,有二元一次方程組,有三元一次方程組,有五元一次方程組。 其十三題為:「今有五家共井,甲二綆不足,如乙一綆;乙三綆不足,如丙一綆;丙四綆不足,如丁一綆;丁五綆不足,如戊一綆;戊六綆不足,如甲一綆。 如各得所不足一綆,皆逮。 問井深,綆長各幾何」。 所問者,六未知數之值。然可列一次方程者五。夫一次不定方程組,舉世莫早乎《九章》。[五]

傳世[]

九章算術影宋本

《九章》之後,數學統系俶成,是為垂範[五]。 北政府刊刻,民多解之。 [六][五]

時,傳至日本朝鮮。後遠傳多國,今有日、俄、英、法、德等地譯本[六]

引據[]

  1. {{{著}}}
  2. 二點〇 二點一 二點二 二點三 二點四 二點五 二點六 二點七 二點八 {{{著}}}
  3. HPM通訊第七卷第一期,台師大數學系碩士班研究生 張復凱
  4. 九章算術:減法「同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之」,加法「異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之」。
  5. 五點〇〇 五點〇一 五點〇二 五點〇三 五點〇四 五點〇五 五點〇六 五點〇七 五點〇八 五點〇九 五點一〇 五點一一 {{{著}}}
  6. 六點〇 六點一 {{{著}}}