導數者,函數某點之變率也,以極限趨之所得也。常以 , , , 等記之。
- 瞬時變化率,有「速度」為證。夫所謂以 之速而行者,實是頃間位移之變,亦位移之導數而已矣。故曰:。
設 為一開區間且函數 ,,若極限
-
存在,是謂 可微分於點 。其極限值,即 微分值之在 ,且如上述云。
設 為一開區間且 上處處可微分於 ,則命 之導數 於 :
亦以 識之。
顯函之導數亦 之一函數也,隱函者則為 空间之一多元函數也。
凡以下公式,皆助吾等得眾函之導數:
1.
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3.
4.
5.
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7.
8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15. (加減之法)
16. (乘之法)
17. (除之法)
18. (鏈之法)
夫初等函數之萬千组合,毋論顯隱,此眾法皆可得其導數。
一之證:
二之證:
三之證:
- 次第一: 乃正整數,藉乎牛頓二項式定理:
- 次第二: 乃負整數
設 。則:
- 次第三: 乃有理數
設 ,且 乃整數 ()。則:
又:設 ,則:
- 次第四: 乃實數
設 。則:
四之證:
五之證:
次第一:
設 ,則若 , 。
次第二:
六之證:
七之證:
八之證:
九之證:
十之證:
十一之證:
十二之證:
設 且 。則:
十三之證:
十四之證:
設 且 。則:
十五之證:
設 且 。則:
十六之證:
設 且 。則:
十七之證:
設 且 。則:
十八之證:
設 且 。則:
緣當 時, ,故:
求 之導數。
二階導數者,導數之導數也,乃函數於某點時斜率之變率,為以極限趨函數斜率之方程所得也。常書二階導數作,, , 等。夫者,其義緣也。
至於甚者( 階導數, 當 時),其義及書同上。(舉一隅,則反三隅也)
求 之二階導數。
詳見偏導數