導數

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導數之本乃函數於某點之變率(切線),故紅線之斜率,導數也

導數者,函數某點之變率也,以極限趨之所得也。常以 , , , 等記之。

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物理動機[]

  • 瞬時變化率,有「速度」为證。夫所謂以 之速而行者,實是頃間位移之變,亦位移之導數而已矣。故曰:

微分[]

為一開區間且函數 ,若極限

  

存在,是謂 可微分於 。其極限值,即 微分值之在 ,且如上述云。

導數[]

為一開區間 上處處可微分 ,則命 導數

    

亦以 識之。

顯函之導數亦 之一函數也,隱函者則為 空间之一多元函數也。

常用導數[]

凡以下公式,皆助吾等得眾函之導數:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15. (加減之法)

16. (乘之法)

17. (除之法)

18. (鏈之法)

夫初等函數之萬千组合,毋論顯隱,此眾法皆可得其導數。

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一之證:

二之證:

三之證:

  • 次第一:正整數,藉乎牛頓二項式定理:

  • 次第二:負整數

。則:

  • 次第三:有理數

,且 乃整數 ()。則:

又:設 ,則:

  • 次第四: 實數

。則:

四之證:

五之證:

次第一:

,則若

次第二:

六之證:

七之證:

八之證:

九之證:

十之證:

十一之證:

十二之證:

。則:

十三之證:

十四之證:

。則:

十五之證:

。則:

十六之證:

。則:

十七之證:

。則:

十八之證:

。則:

緣當 時, ,故:

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之導數。

二階導數[]

二階導數者,導數之導數也,乃函數於某點時斜率之變率,為以極限趨函數斜率之方程所得也。常書二階導數作等。夫者,其義緣也。

至於甚者( 階導數, 時),其義及書同上。(舉一隅,則反三隅也)

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之二階導數。

偏導數[]

詳見偏導數

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