手算開方

手算開方者，算術也。

概

或問：毋論中原泰西，古人無電算盤，何以算開方？

答曰：可以直式算之。

法

先置待開方之數於根號中。自小數點，毋論左右，逢二位分之。若小數位之位數奇數也，補零末位。

分畢，求某數，其平方窮大，遜於首組數，記之上。某數平方於首組數差，記之下，乘以一百。

乘畢，加諸次組數。使上述某數乘以二十，後加新某數，復乘之，使其窮大，而遜於方求之差與次組數和，相減，得新差。記新某數於上，新差於下。

周而復始，得欲求之精度，可止。

若小數後缺位，可復補雙零。

理

按恆等式，得 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=a^{2}+(2a+b)b$ 。故置十位於 $a$ ，個位於 $b$ ，是法也。

示

此例開方二百也。

${\begin{array}{ll}\quad {\color {Red}1}~~{\color {Green}4}.~~{\color {Blue}1}~~{\color {Purple}4}~~{\color {Orange}2}\\{\sqrt {2|00.00|00|00}}\\\quad {\underline {1\quad ~}}&\quad {\color {Red}1}\times {\color {Red}1}\leq 2\\\quad 1~00&a={\color {Red}1}0,b={\color {Green}4}\\\quad {\underline {~~\,96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2{\color {Green}4}\times {\color {Green}4}=96\leq 100\\\qquad ~4~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}0,b={\color {Blue}1}\\\qquad ~{\underline {2~81\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=28{\color {Blue}1}\times {\color {Blue}1}=281\leq 400\\\qquad ~1~19~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}0,b={\color {Purple}4}\\\qquad ~{\underline {1~12~96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=282{\color {Purple}4}\times {\color {Purple}4}=11296\leq 11900\\\qquad \quad ~~6~04~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}{\color {Purple}4}0,b={\color {Orange}2}\\\qquad \quad ~~{\underline {5~65~64}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2828{\color {Orange}2}\times {\color {Orange}2}=56564\leq 60400\\\qquad \quad \quad ~\,38~36\\\end{array}}$

${\sqrt {200}}\approx 14.14213562373095048801668872421$

取二小數位，得開方二百概十四點一四。