導數

導數者，函數某點之變率也，以極限趨之所得也。常以 $y'$ , ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ , ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)$ , ${\dot {y}}$ 等記之。

史

物理動機

瞬時變化率，有「速度」為證。夫所謂以 ${\vec {v}}$ 之速而行者，實是頃間位移之變，亦位移之導數而已矣。故曰： ${\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {v}}$ 。

微分

設 $I$ 為一開區間且函數 $f:I\to \mathbb {R}$ ， $x\in I$ ，若極限

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}

存在，是謂 $f$ 可微分於點 $x$ 。其極限值，即 $f$ 微分值之在 $x$ ，且如上述云。

導數

設 $I$ 為一開區間且 $f:I\to \mathbb {R}$ 上處處可微分於 $I$ ，則命 $f$ 之導數 $f'(x)$ 於 $I$ ：

$f'(x):=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$ 　　　　 $\forall x\in I$

亦以 ${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}$ 識之。

顯函之導數亦 $x$ 之一函數也，隱函者則為 $\mathbb {R} ^{n}$ 空间之一多元函數也。

常用導數

凡以下公式，皆助吾等得眾函之導數：

1. $y=c,y'=0$

2. $y=x,y'=1$

3. $y=x^{n},y'=nx^{n-1}$

4. $y=e^{x},y'=e^{x}$

5. $y=\ln |x|,y'={\frac {1}{x}}$

6. $y=\sin(x),y'=\cos(x)$

7. $y=\cos(x),y'=-\sin(x)$

8. $y=\tan(x),y'=\sec ^{2}(x)$

9. $y=\csc(x),y'=-\csc(x)\cot(x)$

10. $y=\sec(x),y'=\sec(x)\tan(x)$

11. $y=\cot(x),y'=-\csc ^{2}(x)$

12. $y=\arcsin(x),y'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

13. $y=\arccos(x),y'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

14. $y=\arctan(x),y'={\frac {1}{1+x^{2}}}$

15. ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u\pm v)={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\pm {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}$ （加減之法）

16. ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(uv)=u{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}+v{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}$ （乘之法）

17. ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {u}{v}}={\frac {v{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}-u{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}}{v^{2}}}$ （除之法）

18. ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}y(u(x))={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}$ （鏈之法）

夫初等函數之萬千组合，毋論顯隱，此眾法皆可得其導數。

證

一之證： ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(C)$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {C-C}{\Delta x}}$

$=0$

二之證： ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x)$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)-x}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta x}}$

$=1$

三之證：

次第一： $n$ 乃正整數，藉乎牛頓二項式定理：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{n})$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{n}+C_{1}^{n}x^{n-1}\Delta x+C_{2}^{n}x^{n-2}\Delta x^{2}+...+C_{n}^{n}\Delta x^{n}-x^{n}}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}C_{1}^{n}x^{n-1}+C_{2}^{n}x^{n-2}\Delta x+...+C_{n}^{n}\Delta x^{n-1}$

$=C_{1}^{n}x^{n-1}$

$=nx^{n-1}$

次第二： $n$ 乃負整數

設 $k=-n$ 。則： $x^{n}={\frac {1}{x^{k}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{n})$

$={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{x^{k}}}$

$={\frac {x^{k}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(1)-1{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{k})}{x^{2k}}}$

$={\frac {0-kx^{k-1}}{x^{2k}}}$

$=-kx^{-k-1}$

$=nx^{n-1}$

次第三： $n$ 乃有理數

設 $n={\frac {p}{q}}$ ，且 $p,q$ 乃整數（ $q\neq 0$ ）。則： $x^{n}=(x^{\frac {1}{q}})^{p}$

又：設 $u=x^{\frac {1}{q}}$ ，則： $y=u^{p}$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}=pu^{p-1}$

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}=qu^{q-1}$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}$

$pu^{p-1}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{n}).qu^{q-1}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{n})={\frac {p}{q}}u^{p-q}$

$={\frac {p}{q}}(x^{\frac {1}{q}})^{p-q}$

$=nx^{n-1}$

次第四： $n$ 乃實數

設 $y=x^{n}$ 。則： $\ln |y|=n\ln |x|$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\ln |y|)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}n\ln |x|$

${\frac {1}{y}}.{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=n.{\frac {1}{x}}$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=y.{\frac {n}{x}}$

$=x^{n}.{\frac {n}{x}}$

$=nx^{n-1}$

四之證：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(e^{x})$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{x+\Delta x}-e^{x}}{\Delta x}}$

$=e^{x}.\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{\Delta x-1}}{\Delta x}}$

$=e^{x}.(1)$

$=e^{x}$

五之證：

次第一： $x>0$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\ln |x|)$

$={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\ln(x))$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\ln {\frac {x+\Delta x}{x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}\ln(1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\frac {1}{\Delta x}}$

設 $n={\frac {x}{\Delta x}}$ ，則若 $\Delta x\to 0$ ， $n\to \infty$ 。

$\lim _{\Delta x\to 0}\ln(1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\frac {1}{\Delta x}}$

$=\ln(\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{n}})^{n}))^{\frac {1}{x}}$

$=\ln e^{\frac {1}{x}}$

$={\frac {1}{x}}$

次第二： $x<0$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\ln |x|)$

$={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\ln(-x))$

$=-{\frac {1}{x}}.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(-x)$

$=-{\frac {1}{x}}.(-1)$

$={\frac {1}{x}}$

六之證：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sin(x)$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2\cos {\frac {2x+\Delta x}{2}}\sin {\frac {\Delta x}{2}}}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}({\frac {\sin {\frac {\Delta x}{2}}}{\frac {\Delta x}{2}}}.\cos(x+{\frac {\Delta x}{2}}))$

$=1.\cos x$

$=\cos x$

七之證：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cos(x)$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {-2\sin {\frac {2x+\Delta x}{2}}\sin {\frac {\Delta x}{2}}}{\Delta x}}$

$=-\lim _{\Delta x\to 0}({\frac {\sin {\frac {\Delta x}{2}}}{\frac {\Delta x}{2}}}.\sin(x+{\frac {\Delta x}{2}}))$

$=-1.\cos x$

$=-\cos x$

八之證：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\tan x)$

$={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}({\frac {\sin x}{\cos x}})$

$={\frac {\cos x{\frac {d}{dx}}(\sin x)-\sin x{\frac {d}{dx}}(\cos x)}{\cos ^{2}x}}$

$={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}$

$=\sec ^{2}x$

九之證：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\csc x)$

$={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\sin x}}$

$={\frac {\sin x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(1)-1{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\sin x)}{\sin ^{2}x}}$

$=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}$

$=-\cot x\csc x$

十之證：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\sec x)$

$={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\cos x}}$

$={\frac {\cos x{\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}(1)-1{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\cos x)}{\cos ^{2}x}}$

$={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}$

$=\sec x\tan x$

十一之證：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\cot x)$

$={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{\tan x}}$

$={\frac {\tan x{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(1)-1{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\tan x)}{\tan ^{2}x}}$

$=-{\frac {\sec ^{2}x}{\tan ^{2}x}}$

$=-\csc ^{2}x$

十二之證：

設 $x=\sin y$ 且 $-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$ 。則：

$x=\sin y$

$1=\cos y.{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{\cos y}}$

$={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}$

$={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

十三之證：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arccos x$

$={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}({\frac {\pi }{2}}-\arcsin x)$

$=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

十四之證：

設 $x=\tan y$ 且 $-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$ 。則：

$x=\tan y$

$1=\sec ^{2}y.{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$

$=1\sec ^{2}y$

$={\frac {1}{1+x^{2}}}$

十五之證：

設 $u=f(x)$ 且 $v=g(x)$ 。則：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(u\pm v)$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x+\Delta x)\pm g(x+\Delta x))-(f(x)\pm g(x))}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\pm {\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}})$

$=f'(x)\pm g'(x)$

$={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}\pm {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}$

十六之證：

設 $u=f(x)$ 且 $v=g(x)$ 。則：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(uv)$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x+\Delta x)g(x)+f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}(f(x+\Delta x)({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}})+g(x)({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}))$

$=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)$

$=u{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}+v{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}$

十七之證：

設 $u=f(x)$ 且 $v=g(x)$ 。則：

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {u}{v}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{\Delta xg(x)g(x+\Delta x)}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}({\frac {1}{g(x)g(x+\Delta x)}}.{\frac {f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{\Delta x}})$

$=\lim _{\Delta x\to 0}({\frac {1}{g(x)g(x+\Delta x)}}.({\frac {f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}-{\frac {f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}))$

$={\frac {1}{g(x)^{2}}}.(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))$

$={\frac {v{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}-u{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}}{v^{2}}}$

十八之證：

設 $y=f(x)$ 且 $u=g(x)$ 。則：

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}$

緣當 $\Delta x\to 0$ 時， $g(x+\Delta x)-g(x)=(u+\Delta u)-u=\Delta u\to 0$ ，故：

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta u\to 0}{\frac {f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta u}}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}$

$=f'(u)g'(x)$

$={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}$

例

求 $y=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7$ 之導數。

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7)$

$=4x^{3}+\cos(x^{2}){\frac {d}{dx}}(x^{2})-({\frac {1}{x}}e^{x}+\ln(x)e^{x})+0$

$=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {e^{x}}{x}}-\ln(x)e^{x}$

二階導數

二階導數者，導數之導數也，乃函數於某點時斜率之變率，為以極限趨函數斜率之方程所得也。常書二階導數作 ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}$ ， ${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}f(x)$ ， $y''$ ， ${\ddot {y}}$ 等。夫 ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}$ 者，其義緣 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})$ 也。