塞瓦定理

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
共點於三角形內
共點於三角形外

塞瓦定理,又譯為西瓦定理,幾何定理也,與梅涅勞斯定理為對偶。首證之者乃泰西義大利疇人喬瓦尼‧塞瓦(Giovanni Ceva)。

定理言:三角形甲乙丙(ABC)中,三邊(或為引長其邊所得之線)乙丙、丙甲、甲乙上各有點丁(D)、戊(E)、己(F),而三線甲丁、乙戊、丙己共一點庚(O)。 則長乙丁除以長丁丙、長丙戊除以長戊甲、長甲己除以長己乙,三者之積為一[一]。(

或可簡曰:一三角形,自頂點各引一線而共一點,則其線各自截對邊之分點比依序連乘之積為一[一]

其中,稱甲丁、乙戊、丙己三線段為關於庚之塞瓦線;三角形丁戊己為關於庚之塞瓦三角形。

或可以角元式記之:上述三線共點,則角乙甲丁之正弦除以角丁甲丙之正弦、角丙乙戊之正弦除以角戊乙甲之正弦、角甲丙己之正弦除以角己丙乙之正弦,三者之積為一[二]。(

證明[]

其證明有多法,聊舉一以示之。

共邊定理可知,長乙丁比於長丁丙,等乎三角形甲乙庚與甲丙庚積之比;(

同理亦有:

長丙戊比於長戊甲,等乎三角形乙丙庚與甲乙庚積之比;(
長甲己比於長己乙,等乎三角形甲丙庚與乙丙庚積之比。(

三式相乘即得證。

逆定理[]

三線平行

逆之而亦為定理:有三角形甲乙丙,其邊(或為引長其邊所得之線)乙丙、丙甲、甲乙上各有點丁、戊、己,且長乙丁除以長丁丙、長丙戊除以長戊甲、長甲己除以長己乙,三者之積為一[一];又於丁、戊、己三點中,或恰有一,或三點皆在該三角形邊之中。則三線甲丁、乙戊、丙己共一點,亦或三線平行[三]

備考[]

梅涅勞斯定理

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  1. 一點〇 一點一 一點二 亦可言:觀以有向線段,長乙丁除以長丁丙、長丙戊除以長戊甲、長甲己除以長己乙,三者之積為一。
  2. 易以正弦定理證之。
  3. 觀乎射影幾何,可言三線交於無窮遠處之點,亦為三線共點。