共形場論

共形場論，一曰保角場論（英言conformal field theory, CFT），屬量子場論之一支，專治共形對稱量子場之結構（於算理，則通乎統計力學臨極之模型）。斯結構，俗亦號為「一共形場論」。論中最著者，當屬二維共形場論，蓋以其具無窮維局部共形變換之羣，且與諸全純函數相應也。

凡弦論、統計力學、凝態物理諸門，皆有取於是焉。

論尺度與共形之不變

夫尺度變易，實共形變易之一屬。求諸量子場論，隨尺度之不變而隨共形之變易而遷者，蓋寡矣。且於特定之境，尺度不變即寓共形不變之理。由是，治斯學者，每混稱「尺度不變」與「共形不變」，弗加深辨。

二維共形場論

二維共形場論，含無窮維之局部共形變換羣。試以黎曼球面之共形場論觀之：其變換羣，雖集諸莫比烏斯（Möbius）之變易，且同構於PSL(2, C)，然其至微之共形變換，實成無窮維之維特（Witt）代數。特須識者，斯論既經量子化，多生共形反常（又稱韋伊（Weyl）反常）之象。此象既彰，遂生一非零之中心荷，維特代數由是拓充，而為維拉索羅代數（英言Virasoro algebra）矣。

藉斯對稱之理，二維共形場論之科分益精。尤切者，可繫其原初算子與中心荷 $c$ 之理。凡物理態（en:physical state）所結之希爾伯特空間（Hilbert space），皆為維拉索羅代數以 $c$ 為定值之么正模（en:unitary module / en:unitary representation）。欲保全系之穏定，哈密頓（Hamiltonian）之能譜（en:energy spectrum），理當限於零與零之上。而世之最稱便者，乃維拉索羅代數之最高權表示（en:highest weight representation）也。

所謂手徵場者，全純場 $W(z)$ 也。受維拉索羅代數之作用，其變換如左：

L_{n}W(z)=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}W(z)-\Delta z^{n}W(z)

,

{\bar {L}}_{n}W(z)=0.\,

.

反手徵場之義，與此類同。論中以 $\Delta$ 為手徵場之共形權（en:conformal weight）。

昔有扎氏（Zamolodchikov）嘗證一理：有函數 $C$ ，隨重整羣流之作而漸降，且適與二維共形場論之中心荷相埒。世稱「扎氏$C$定理」。由此推之，二維重整羣流，誠往而不返者也。

據

兼查

攷

Paul Ginsparg, Applied Conformal Field Theory. 模板:ArXiv.
P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-94785-X.
A.B Zamolodchikov, ``Infinite Conformal Symmetry In Two-Dimensional Quantum Field Theory, Nucl.Phys.B241:333-380,1984.
A.B Zamolodchikov, ``Irreversibility' Of The Flux Of The Renormalization Group In A 2-D Field Theory, JETP Lett.43:730-732,1986 [一] 互聯網檔案館存錄，時二〇二〇年一月七日。 (Russian version).
弦论通俗演义（十九）互聯網檔案館存錄，時二〇〇六年十二月十三日。