使用者:Hillgentleman/塞爾伯格迹公式
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塞爾伯格迹公式(Selberg's trace formula)乃非交換調和分析中一關鍵結果,亦指一重要研究方向。 此式計算某些積分與微分算子作用於齊性空間G/Γ 之函數空間上之「迹」(矩陣迹之推廣),其中G為李羣而Γ為其離散子羣. 更一般者,可考慮雙陪集空間 H\G/Γ。
早期
[纂]1956年,塞爾伯格[一] 撰文論其首例--空間為一緊致黎曼曲面S,微分算子為拉普拉斯算子或其冪; 則其迹供吾人一類 zeta 函數 (見塞爾伯格 zeta 函數)。此等公式強烈類比質數理論中之明顯公式(explicit formulae)----以S上閉測地線代質數。 研究員旋即反觀黎曼假設,認迹公式為泊松和公式之非交換推廣。
同時,Martin Eichler與塞爾伯格提出 Eichler-塞爾伯格迹公式,以計算 Hecke 算子 作用於 具特定權、相應於模羣內某congruence 子羣 之尖點型式空間之Hecke 算子。此時單位算子之迹等於向量空間之維度,亦即某種模型式之線性空間之維度:此量一般可以黎曼-洛克定理算。此發展指出,吾人可用表示理論推廣迹公式,以得更多資訊。
發展
[纂]此後發展多矣。Eichler-志村定理計算模曲線所繫之Hasse-Weil L-函數;志村五郎之法繞過迹公式所需之分析。由Eichler 上同調生之拋物上同調(en:parabolic cohomology)提供純代數、基於羣上同調之架構,利用模曲線與非緊致黎曼曲面之尖點性質[二]。塞爾伯特迹之緊致商情況或多或少已納入Atiyah-Singer 指標定理;但 若Γ 為一算術羣,則吾人立遇非緊致情況。
加深與推廣
[纂]1960年代,蓋爾芳特學派、普林斯頓之Harish Chandra與郎蘭兹 與日本之Tomio Kubota發展 Selberg 迹公式研究之主方向--作為一門分析學. Eisenstein 級數之一般理論主要受分離連續譜之需所啓發;此為非緊致情況之特徵。微分算子與Hecke 算子迹公式之存在印證adele 羣之力。
現今此等之推廣為:
迹公式尚無最終之型式,因 L2 指標定理仍未追上各用。
緊致雙曲面上之 Selberg 迹公式
[纂]吾人可表一緊致雙曲面X為
- ,
其中 為之子羣。
則Laplace-Beltrami 算子於X上之譜乃離散(見離散譜); 即
其中特徵值 相應於函數 ,使
- .
且
- 每元有
若代
則特徵向量記為,其中.
則 Selberg 迹公式為
其中和 取各異之 all distinct 雙曲共軛類 函數 h 須為 上解析函數,並滿足
其中 與 M為正整數。函數 g 為h 之富理埃變換,即: 。
他典
[纂]
註
[纂]- ↑ en:Atle Selberg
- ↑ (cusps characteristic of non-compact Riemann surfaces and modular curves)
- ↑ (en:Langlands philosophy)