矢量空間

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

矢量空間者,歐基里德空間之引伸也,亦曰線性空間向量空間,究之者,線性代數也。

定義[]

矢量空間者,交換群(V )也,其物曰矢量或向量,合一(F),曰標量域,其物曰標量;並有標量乘法。標量乘法者,標量乘矢量得矢量(F × V → V,(r,v)→ rv ),必以下是從:

  • 標量甲乘矢量乙丙之和,同乎甲乙積加甲丙積(「r(x+y) = rx+ry」),曰分配律。
  • 標量甲乙之和乘矢量丙,同乎甲丙積加乙丙積(「(r+s)x = rx+sx」),曰分配律。
  • 標量甲乙之積乘矢量丙,同乎甲乘乙丙之積(「(rs)x = r(sx)」)。
  • 標量「一」乘矢量甲得甲(「1x = x」)。

因標量域是,可知矢量空間實也。

若標量為實數,曰實矢量空間。若標量為複數,曰複矢量空間

矢量空間之最小生成集,曰。基之大小,曰維數

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  • 域直積(「\mathbb{F}^n」),域之物為標量,維數為域之數(「n」)。
  • 實數集直積複數集(「\mathbb{R}\times \mathbb{C}」),實數為標量,維數乃三。
  • 實數集,分數為標量,維數無窮。
  • 多項式集,實數為標量,維數無窮。