環 (代數)

文出維基大典
往:
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

者,有加乘二法之代數結構也。

定義[]

者,集也,有加乘二法(「+ ,×」),合:

  • 集合加者,交換群也,有單位元曰「零」。
  • 集合乘者,半群也,即守封閉性結合律
    • 甲乙之積乘丙,同乎甲乘乙丙之積也(「(x × y) × z = x × ( y × z)」),曰結合律
  • 甲乘乙丙之和,同乎甲乙之積加甲丙之積;甲乙之和乘丙,同乎甲丙之積加乙丙之積,曰分配律。(「x × ( y + z ) = x × y + x × z; (x + y) × z = x × z + y × z」[一]

可得證,物乘「零」同乎「零」乘物,皆「零」也(「x × 0 = 0 × x = 0」)。

  • 今所究者,多有乘法單位元曰「一」,且凡物乘「一」或物乘以「一」,皆為己(「1 o x = x o 1 = x」)。

若乘法合交換律者,曰交換環。交換環而非零物皆有乘法逆者,曰

[]

  • 整數合加乘,交換環也。
  • 方陣合加乘,環也。然非交換環耳。
  • 四元數,環也。然非交換環耳。
  • 同餘集,交換環也。
  • 多項式集,交換環也。

[]

  1. 依習,先乘除後加減。