二元運算
文出維基大典
- 注︰蓋當今之世，數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事。舉本文為例，甲（A）之示，即文句以甲代一物，算式以A代之，以合文言、數學，則無論文理之人，咸可明之也。
二元運算者，四則之抽象也。
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[纂] 定義
二元運算者（「ｏ」），集與已之直積映射己也（「ｏ:A × A → A」）。加減乘除，皆二元運算也。甲（a）運算乙（b）而得丙（「aｏb=c」，即ｏ(a,b)），則曰甲為被運算數（古稱實數或實），乙為運算數（古稱法數或法）。廣群者，有二元運算之代數結構也。[一]
若無固定名稱，多以乘法或加法稱之。且以乘法語之。
[纂] 單位元
有元素（「e」），凡乘物或乘以物，皆得物，曰單位元（「e o x = x o e = x」）。加法之單位元，曰「零」；乘法之單位元，曰「一」。
[纂] 結合律
若甲乙之積乘丙，同乎甲乘乙丙之積（「x o (y o z) = (x o y) o z」），則曰二元運算合結合律也。
其廣群曰半群。若有單位元，則曰半么群也。
[纂] 交換律
若甲乘乙必同乎乙乘甲（「x o y = y o x」），則曰二元運算合交換律也。
[纂] 分配律
若加、乘皆二元運算，且有
- 甲乘乙丙之和，同乎甲乙之積加甲丙之積，曰左分配律。（「x × ( y + z ) = x × y + x × z」[二]）
- 甲乙之和乘丙，同乎甲丙之積加乙丙之積，曰右分配律。（「(x + y) × z = x × z + y × z」）
則謂加乘二法合分配律也。
