完美數

完美數者，正整數之同於其因數和也，且不含其自身。亦可云遺傳子數和二倍於基自身。

本德

六者，完美數也

以六爲例，有

$6=1+2+3$ ①

$2\times 6=1+2+3+6$②

令①除六，得

${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}=1$

廿八亦此

$28=1+2+4+7+14$

同除廿八得

$1={\frac {1}{28}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}$

成員

6, 28, 496, 8128, 33550336, etc

亦可見list of perfect numbers, emwiki

完美數公式

${\mathfrak {p}}_{n}=2^{p-1}(2^{p}-1)=2^{p-1}\mathrm {M} _{p}\ ,p\in \mathbb {P} \ ,(2^{p}-1)\in \mathbb {P}$

嚴證

$2^{p-1}(2^{p}-1)$之因數有

{$1,2,4,\mathrm {etc} ,2^{p-1},\mathrm {M} _{p},2\mathrm {M} _{p},4\mathrm {M} _{p},\mathrm {etc} ,2^{p-1}\mathrm {M} _{p}$}

$a_{n}=2^{n-1}$	$b_{n}=2^{n-1}\mathrm {M} _{p}$
$S_{n}={\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}=2^{n}-1$	$T_{n}={\frac {b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}=(2^{n}-1)\mathrm {M} _{p}$
$a_{p}=2^{p-1}$	$b_{p}=2^{p-1}\mathrm {M} _{p}$
$S_{p}=2^{p}-1=\mathrm {M} _{p}$	$T_{p}=(2^{p}-1)\mathrm {M} _{p}$

則

$S_{p}+T_{p}=\mathrm {M} _{p}+(2^{p}-1)\mathrm {M} _{p}$

$=2^{p}\mathrm {M} _{p}$

$=2\cdot 2^{p-1}\mathrm {M} _{p}$

即其因數和二倍于其自身，故得證之。

$(2^{p}-1)$者

(2^p-1)者，梅森質數也，$\mathbb {P}$者，質數集也，若無歧義，亦可書$\mathrm {P}$.

探尋之路

由完美數公式可知，尋梅森質數即尋完美數，計算機未發明之時，則其甚難尋之，今有GIMPS之項，故其之尋有所破，然仍有二疑：奇完美數之存乎？完美數無窮乎？