孿生質數

孿生質數者，質數之差二也，若三與五，五與七爾爾。

難題

孿生質數之無窮乎。遂有數學家究之，然求其倒數之和，值收斂，名曰布隆常數^[一]

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+\cdots \cdots =1.90216058\cdots \cdots$

今仍無解，或下文爲可證其無窮性。

孿生質數無窮性之證

孿生質數皆書作 $f(p_{1},p_{2})=(6n-1,6n+1)$ ，且不包含 $3$ ，

且由質數分佈定理可知，質數之距遞增，設質數之距d，則其之距有

$d_{(p_{n},p_{n+m})}<d_{(p_{n+k},p_{n+m+k})}$

質數平方距及m次方距有

$p_{n+1}^{2}-p_{n}^{2}\geqslant \mathrm {E} (2n-1)$

$p_{n+1}^{m}-p_{n}^{m}\geqslant \mathrm {E} [n^{m}-(n-1)^{m}]$

$\mathrm {E} [n^{m}-\sum _{k=0}^{m}\left(C_{m}^{k}n^{m-k}(-1)^{k}\right)]$

$\mathrm {E} [n\cdot n^{m-1}+\mathrm {etc} ]$

由無窮大之較可知

$\lim _{n\to \infty }\mathrm {E} [n\cdot n^{m-1}+\mathrm {etc} ]=\mathrm {E} [n\cdot n^{m-1}]$

且令 $(p_{n}+k)\in \mathbb {P} \ ,p_{n}=r,$ 則

$\Delta {p_{n}}^{2}=(p_{n}+k)^{2}-{p_{n}}^{2}$

$=r^{2}+2kr+k^{2}-{p_{n}}^{2}$

$2kr+k^{2}$

$\lim _{n\to \infty }\Delta {p_{n}}^{m}=(p_{n}+k)^{m}-{p_{n}}^{m}$

$\lim _{n\to \infty }\left[\sum _{k=0}^{m}\left(C_{m}^{k}{p_{n}}^{m-k}k^{k}\right)-{p_{n}}^{m}\right]$

$=\lim _{n\to \infty }[mk{p_{n}}^{m-1}+\mathrm {etc} ]$

$=mk{p_{n}}^{m-1}$

$=mkr$

又令半質數 $p_{a}p_{b}=p^{(2)}$ ，質數積 $p^{(n)}=p^{(n-1)}p$

則質數平方內質數積（質數分佈缺陷，且不含2，3）pp'有如下之分佈

$\Delta {(p_{n+2})}^{m}=n^{m}-(n-1)^{m}$

$[{(p_{n+2})}^{m}-\sum _{k=0}^{m}\left[C_{m}^{k}{(p_{n+2})}^{m-k}(-1)^{k}\right]$

$=m\cdot {(p_{n+2})}^{m-1}+\mathrm {etc}$

$m\cdot r^{m-1}+\mathrm {etc}$

由無窮大之比較可知

$\lim _{n\to \infty }[m\cdot r^{m-1}+\mathrm {etc} ]=m\cdot r^{m-1}$

則質數積之密度有

${\frac {\Delta {p^{(m)}}}{\Delta {p_{n+2}}^{m}}}<{\frac {m\cdot r^{m-1}}{mkr}}$

$=r^{m-2}k^{-1}$

$\lim _{n\to \infty }[r^{m-2}k^{-1}]=r^{m-2}r^{-m}=r^{-2}$

故其無法覆蓋故孿生質數{6n-1,6n+1}

故孿生質數{6n-1,6n+1}無窮

6n-1,6n+1