康托爾定理

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

康托爾定理云:「集之基數,小于其幕集。」觀自然數,數甲小于二之甲次方也(「n<2^n」)。

觀乎自然數集,其幕集之基數同乎實數集。康托爾對角線證明法,知實數集不可數。康氏取此法精粹,推而廣之,遂得證康托爾定理。

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集甲之基數小于其幕集者,謂甲映射幕集,必非滿射也。(「|A|<|P(A)| \iff (\forall F:A\rightarrow P(A))F(A)\neq P(A)」)

今取甲映射幕集。甲之元素非己象之屬者,聚以成一大集。凡甲之物,或屬大集,或不然。若然,則非己象之物,故己屬于大集去己象,可知大集異於己象;若非,則乃己象之物,故己屬于己象去大集,可知大集異於己象也。是以甲物之象必異於大集,故映射非滿射也。

(以數式示之如下︰「F:A\rightarrow P(A)S=\{a\in A\ :\ a\notin F(a)\}

a\in A \implies (a \in S) \vee (a \notin S)

a\in S \implies a\notin F(a) \implies a\in S\setminus F(a) \implies S\neq F(a)

a\notin S \implies a\in F(a) \implies a\in F(a)\setminus S \implies S\neq F(a)

((\forall a\in A) F(a)\neq S) \implies F(A)\neq P(A) 」)