三角函數

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

三角函數勾股弦之繫也。

直角三角形[]

直角三角形,取一銳角,簡曰角。為便捷計,不論長短,角之對邊曰勾,角之旁曰股。

角之正弦者,弦(r)除勾(y)也(記曰\sin \alpha = \frac{y}{r});

餘弦者,弦除股(x)也(記曰\cos \alpha = \frac{x}{r});

正切者,股除勾也(記曰\tan \alpha = \frac{y}{x});

餘切者,勾除股也(記曰\cot \alpha = \frac{x}{y});

正割者,股除弦也(記曰\sec \alpha = \frac{r}{x});

餘割者,勾除弦也(記曰\csc \alpha = \frac{r}{y})。

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Unit circle angles.svg

坐標幾何生,三角函數之義遂新。以零點為中,徑為一,得一圓。凡一角,相應圓上一點,使徑為弦,縱坐標為勾,橫坐標為股。因有:

象限,即自東(零度)始,迄北(九十度),正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割皆正;

次象限,即自北(九十度)始,迄西(百八十度),正弦、餘割為正,餘弦、正割、正切、餘切皆負;

三象限,即自西(百八十度)始,迄南(二百七十度),正弦、餘弦、正割、餘割皆負,正切、餘切為正;

四象,即自南(二百七十度)始,迄東(三百六十度,即零度),正弦、餘割、正切、餘切皆負,餘弦、正割為正。

級數[]

弧度觀之,奇數乘方除以階乘\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}),再以正負正負之法合之,得正弦(\sin \alpha = \alpha - \frac{\alpha^3}{3!} + \frac{\alpha^5}{5!} -  ...... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!} )。

偶數乘方除以階乘\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!}),再以正負正負之法合之,得餘弦(\cos \alpha = 1 - \frac{\alpha^2}{2!} + \frac{\alpha^4}{4!} -  ...... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!} ) 。

若依此法,則三角函數可用複數矩陣算子,不必拘於角耳。

指數[]

歐拉究級數,得歐拉等式,知三角函數可以指數示之。取一角,乘負一開方,歐拉數之其乘方,得一數(e^{i\alpha});減倒數,半之,除以負一開方,得正弦(\sin \alpha \, = \, {e^{i \alpha} - e^{-i \alpha} \over 2i} );加倒數,半之,得餘弦(\cos \alpha \, = \, {e^{i \alpha} + e^{-i \alpha} \over 2})。

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