質數

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

質數,亦曰素數。惟可被一與其本身整除之大於一之自然數也,如二、三、五、七者,皆質數;欲驗一自然數甲(A)為質數否,則自二始,累取自然數除甲,訖於甲之方根(\sqrt{A}),若諸數皆不能整除,則甲為質數。

自一以上,自然數非質數者,曰合數,如四、六、八、九、十者;一,非質非合。

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質數其無窮也,其證始載於歐幾里得著《幾何原本》,略述如次:設質數有限,盡書之,曰甲(A)、乙(B)、丙(C)……,以累乘諸數之積加一,得數子(Z=A·B·C……+1)。則子為質數耶?合數耶?若為質數,則子與甲、乙、丙……諸數皆不等,子為前書諸質數之外之質數也(Z¢{A,B,C,……});若為合數,則子必不可為前所計之諸質數累積整除,蓋其必余一也(MOD(Z-1,C)=1),則任取甲、乙、丙……諸質數亦不可整除之也。又據算術基本定理,可析合數為若干質數之積,且其途惟一,故得有質數别乎甲、乙、丙諸數者,積之以為子也。則亦得有質數外乎甲乙丙諸數者也。是初設謬也,故得質數之無窮也。

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質數,誠數論之重者也,如哥德巴赫猜想孿生素數猜想等,率發於茲,齒輪之齒數、農藥之施用,亦用其理。