算術基本定理

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注︰蓋當今之世,數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事。舉本文為例,甲(A)之示,即文句以甲代一物,算式以A代之,以合文言、數學,則無論文理之人,咸可明之也。

算術基本定理,亦名質數唯一分解定理。其文曰:自然數之大於一者,皆可析作諸質數之積,且其途惟一也。

泰西疇人歐基里得先證之也,略述如下[一]

證諸數皆可析之:以反證之法:設有數,其不可析也,以其最小者為甲(A),則依本理所述,其非一(A\ne1),亦非質數,蓋質數可記曰甲即甲也(A=A),故甲必為合數。依合數之定義,其必可析為兩自然數之積,此兩自然數者,非一,亦非本數也,且必小於甲,記作甲等於乙乘以丙(A=B \times C),則乙丙可析為質數之積乎?若可析(B=B1 \times B2,C=C1  \times C2),則甲亦可析也;是兩數之析式再積所得也(A=B1 \times B2 \times C1  \times C2);若乙丙二者有不可析者,而以其小於甲,故知甲非最小之不可析之數也,是歧於初設也,蓋初設謬也。故得諸數必可析也。

證其途唯一:先有引論曰:有質數甲,其可整除乙丙之積(A \mid BC),則或有甲整除乙(A \mid B),或有甲整除丙(A \mid C),無他。證引論曰:若甲不可整除乙(A \nmid B),則甲乙之最大公約數為一,依貝祖等式,必有數子(X)、丑(Y),使甲子之積加乙丑之積,其和為一(XA+YB=1),故得可示丙以甲乙子丑(C=C(XA+YB)=CXA+YBC)。因甲整除乙丙之積,故上式之右可为甲整除,故得甲整除丙,引論得證。

既證引論,乃證曰:再行反證之法,設有某數,析其為質數之積,其途有二,取其最小者,名之為丁(D),則可記作(D=O1P1Q1=O2P2Q2)。則數寅可整除其後式(O1\mid O2P2Q2),故依引論,後式中必有一數可為寅整除,名其為卯(O2),而卯亦為素數,故得寅卯相等(O1=O2),是丁除以寅或卯之商戊(D'),其析以質數之法亦有二途也(D'=P1Q1=P2Q2)。戊小於丁,故丁非析為質數之積有二途之最小者也,此與初設相歧,乃初設謬也。故得析合數以質數之積,其途惟一也。

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  1. 為書寫之便,所書之式求簡而達其理,文內算式,止書兩三數之積,如有所積多乎三數者,其理咸同,不贅言焉。