共形場論

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共形場論、或曰保角場論 (conformal field theory, CFT) 者,量子場論一支,研究共形對稱之量子場組成之結構 (數學上或相通於處臨界點統計力學模型) 。一此結構亦俗稱「一共形場論」。此論中最為人知者乃二維共形場論,因其有一巨大、對應於各全純函數之無限維局部共形變換羣。

共形場論有用於 弦論統計力學凝態物理

尺度不變與共形不變[]

尺度變換 乃共形變換之子集。 尺度變換下不變、但共形變換下變之量子場論例子罕見。 而且在某些條件下,尺度不變涵蘊共形不變。 故量子場論研究員常混用尺度不變共形不變二詞。

二維共形場論[]

二維共形場論有一無限維之局部共形變換羣。例如,考慮黎曼球面上之共形場論:雖其變換羣由各Moebius 變換組成、同構於PSL(2,C),但其無窮小共形變換則構成無限維之 Witt 代數。 注意:大多共形場論量子化後會出現 共形反常 (又稱 Weyl 反常)。此現象引進一非零之中心荷,因而 Witt 代數須擴展成 維拉所羅代數[一]

此對稱結構讓吾人更細緻分類二維之共形場論。 尤其者,吾人可聯繋一共形場論之原初算子 [二]與其中心荷 c。各物理態[三]組成之希爾伯特空間是Virasoro 代數以c為定值之一么正模 [四]. 若要使整個系統穏定,則其Hamiltonian 之能譜[五] 應限在零及其上。最廣為人用者乃維拉所羅代數最高權表示[六]

手徵場 乃一全純場W(z),其於維拉所羅代數作用下之變換為

L_n W(z)=-z^{n+1} \frac{\partial}{\partial z} W(z) - \Delta z^n W(z),
\bar L_n W(z)=0.\,.

反手徵場之定義亦類同。吾人稱 Δ 為手徵場W之「共形權」[七]

Zamolodchikov 嘗證:存在一函數 C,於重整羣流作用下單調下降 ,且等於一二維共形場論之中心荷。 此定理人稱 「Zamolodchikov C-定理」。是故,二維重整羣流不可逆也。

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  1. en:Virasoro algebra
  2. en:Primary operator
  3. en:physical state
  4. (en:unitary module/en:unitary representation
  5. (en:energy spectrum)
  6. (en:highest weight representation)
  7. (en:conformal weight)

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  • Paul Ginsparg, Applied Conformal Field Theory. Template:ArXiv.
  • P. Di Francesco, P. Mathieu, and D. Sénéchal, Conformal Field Theory, Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-94785-X.
  • A.B Zamolodchikov, ``Infinite Conformal Symmetry In Two-Dimensional Quantum Field Theory, Nucl.Phys.B241:333-380,1984.
  • A.B Zamolodchikov, ``Irreversibility' Of The Flux Of The Renormalization Group In A 2-D Field Theory, JETP Lett.43:730-732,1986 [一] (Russian version).
  • 弦论通俗演义(十九)