「域 (代數)」：各本之異

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二〇〇七年一〇月二九日（一）〇〇時三〇分審

域，或曰體^[一]者，有四則之代數結構也。

定義

域，集也，合加乘二法，交換環也。且有

集去零，合乘法，交換群也。

甲減乙者，甲加負乙也；甲除乙者，甲乘乙逆也，然乙必非零耳。

例

分數，實數，複數，皆域也。
四元數非域，蓋其乘法不合交換律耳。
素數之同餘集，域也；合成數之同餘集，非域也。

註

↑ Körper, corps, 曰體者，蓋異乎場Feld, champ者也

[1] Körper, corps, 曰體者，蓋異乎場Feld, champ者也

[一]

@@ 第一行： / 第一行： @@
-'''域'''，或曰'''體'''<ref>Körper, corps, 曰'''體'''者，蓋異乎[[向量場|場]]Feld, champ者也</ref>者，[[代數結構]]也，於其上可加與乘.
+'''域'''，或曰'''體'''<ref>Körper, corps, 曰'''體'''者，蓋異乎[[向量場|場]]Feld, champ者也</ref>者，有四則之[[代數結構]]也。
 ==定義 ==
-一域<math>F</math>為一[[集合|集]] ，配以二[[二元運算]]：
+'''域'''，集也，合[[二元運算|加乘]]二法，[[環 (代數)|交換環]]也。且有
+*集去零，合乘法，[[交換群]]也。
-*'''加法'''者，集<math>F </math>上之一[[群 (代數)#阿貝爾群|阿貝爾群]]結構也, 以0為其單位元, ''+''為其號;
+甲減乙者，甲加負乙也；甲除乙者，甲乘乙逆也，然乙必非零耳。
-*'''乘法'''者, 集<math>F - {0}</math>上之一[[群]]結構也, 以1為其單位元, <math>\times</math>為其號<ref>吾人每為行文簡便故，省略此號。</ref>;
-:此二運算之單位元相異, 即, 0 ≠ 1, 且二運算間滿足:
-*'''左右[[分配律]]'''：
-:任取F之元素a,b,c , 恆有 a<math>\times</math>(b + c) = (a<math>\times</math>b) + (a<math>\times</math>c) 且  (b + c)<math>\times</math>a =  (b<math>\times</math>a) + (c<math>\times</math>a)
-吾人復可證得：
-*給定<math>F</math>中每一元 x, 恆有<math>0 \times x = x \times 0 = 0</math>.
-是故域上加減乘除運算皆有義也.
+<!--
 ==性質==
 *域與[[環 (代數)|環]]同, 可定義其[[特徵數]]。因一域之任何非零元素皆可除，故可證得其特徵數若非零則必為[[質數]]。特徵數為零之域必（於[[同構]]視點下）包含[[整數]]<math>\mathbb Z</math>。
@@ 第二〇行： / 第一四行： @@
 :若 a ≤ b 且 0 ≤ c 則 a<math>\times</math>c ≤ b<math>\times</math>c
 惟[[複數域]]<math>\mathbb C</math>雖為[[代數完備]], 已不復能保有此序。
+-->
 ==例==
+*分數，實數，複數，皆域也。
-*有理數集合<math>\mathbb{Q}</math>者，為一域，且此域之乘法均可交換也。
+*[[四元數]]非域，蓋其乘法不合交換律耳。
-*對任一質數''p''，其[[同餘]]算術所構成之環<math>\mathbb Z/p\mathbb Z</math>亦為一域。乘法可交換且<math>(\mathbb Z/p\mathbb Z ) - {0}</math>實為一乘法[[循環群]]。
+*[[素數]]之[[同餘]]集，域也；合成數之同餘集，非域也。
-*<math>\mathbb{R}</math> —
-*<math>\mathbb{C}</math> —
-*<math>\mathbb{Q}_p</math> —
-*<math>\mathbb{F}_q</math> —
 == 註 ==
 <references/>
-{{stub}}
 [[Category: 代數]]

二〇〇七年一〇月二九日 （一） 〇〇時三〇分審

定義

例

註

二〇〇七年一〇月二九日（一）〇〇時三〇分審