「非標準實數」:各本之異
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凡實數,可得一恆序列(「<math>(\forall n) a_n=a</math>」)。 |
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嘗有實數序列之集,含所有恆序列,兼有如斯特性:凡甲 |
嘗有實數序列之集,含所有恆序列,兼有如斯特性:凡有序列甲乙,必有一項,其後甲必大於乙,或甲必小於乙也<ref>存在 k,凡 n≥k a<sub>n</sub> &ge b</sub></sub> 或凡 n≥k a<sub>n</sub> &le b</sub></sub></ref> 。此等集合之極大者,超實數集是也。 |
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自然數之倒數序列(「<math>\{1/n\}_{n=1,2,\ldots}</math>」),無窮小也。 |
自然數之倒數序列(「<math>\{1/n\}_{n=1,2,\ldots}</math>」),無窮小也。 |
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四則運算,遂項算之(「{a<sub>n</sub>}*{ba<sub>n</sub>}={a<sub>n</sub>}+{ba<sub>n</sub>}」,* 可為加減乘除也)。 |
四則運算,遂項算之(「{a<sub>n</sub>}*{ba<sub>n</sub>}={a<sub>n</sub>}+{ba<sub>n</sub>}」,* 可為加減乘除也)。 |
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二〇〇七年一〇月二四日 (三) 二三時〇六分審
- 尚有同名數系,可見超實數。
超實數,hyperreal number之意譯也。魯賓遜所創,用於非標準分析,故亦曰非標準實數。
初,牛頓、萊布尼茨立微積分,論極限,謂兩數相差,小之又小,以至無窮小,則如何如何。然無窮小之物,似零非零,疇人病之,謂不合理則也。已百年,微積分盡可定義於實數,而無窮小幾不再現。然以無窮小言極限,頗合直觀,故仍偶見於入門課本。一九六零年,魯賓遜另闢蹊徑,創新數系,取名超實數,為實數之引伸,且有無窮小及無窮大。以此數系算微積分,世稱非標準分析。
算
數可分實數,無窮大,無窮小,實數加無窮小,共四者。
無窮大與無窮大之積,無窮大也。正無窮大與正無窮大之和,正無窮大也。負無窮大與負無窮大之和,負無窮大也。正無窮大與負無窮大之和,未可知也。
無窮小與無窮小之積,無窮小也。正無窮大與正無窮大之和,正無窮小也。負無窮小與負無窮小之和,負無窮小也。正無窮小與負無窮小之和,零或無窮小也。
無窮大與無窮小之和,無窮大也。無窮大與無窮小之積,未可知也。
無窮大與實數之和,無窮大也。無窮大與非零實數之積,無窮大也。無窮大與零之積,零也。
無窮小與非零實數之積,無窮小也。無窮小與零之積,零也。
無窮大之倒數,無窮小也。
問曰:若甲趨向三,則其方之極限若干?
答曰:甲趨向三,則甲乃三加無窮小也。因甲之方為九加無窮小,可知極限為九。
集
凡實數,可得一恆序列(「」)。
嘗有實數序列之集,含所有恆序列,兼有如斯特性:凡有序列甲乙,必有一項,其後甲必大於乙,或甲必小於乙也[一] 。此等集合之極大者,超實數集是也。
自然數之倒數序列(「」),無窮小也。
四則運算,遂項算之(「{an}*{ban}={an}+{ban}」,* 可為加減乘除也)。
註
- ↑ 存在 k,凡 n≥k an &ge b 或凡 n≥k an &le b