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二〇〇七年一月一八日 (四) 一〇時〇九分審
域,或曰體[一]者,代數結構也,於其上可加與乘.
定義
一域為一集 ,配以二二元運算:
- 加法者,集上之一阿貝爾群結構也, 以0為其單位元, +為其號;
- 乘法者, 集上之一群結構也, 以1為其單位元, 為其號[二];
- 此二運算之單位元相異, 即, 0 ≠ 1, 且二運算間滿足:
- 任取F之元素a,b,c , 恆有 a(b + c) = (ab) + (ac) 且 (b + c)a = (ba) + (ca)
吾人復可證得:
- 給定中每一元 x, 恆有.
是故域上加減乘除運算皆有義也.
性質
- 域與環同, 可定義其特徵數。因一域之任何非零元素皆可除,故可證得其特徵數若非零則必為質數。特徵數為零之域必(於同構視點下)包含整數。
- 一般域上不必有序,惟在有理數域與實數域二特殊域上, 可藉由推廣整數上之序而定義一特殊之線性序, 使之滿足:
- 若 a ≤ b 則 a - c ≤ b - c
- 若 a ≤ b 且 0 ≤ c 則 ac ≤ bc
惟複數域雖為代數完備, 已不復能保有此序。
例
- 有理數集合者,為一域,且此域之乘法均可交換也。
- 對任一質數p,其同餘算術所構成之環亦為一域。乘法可交換且實為一乘法循環群。
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註
- ↑ Körper, corps, 曰體者,蓋異乎場Feld, champ者也
- ↑ 吾人每為行文簡便故,省略此號。