「歐氏幾何」:各本之異
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'''歐氏幾何''',[[歐几里得]] |
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== 公理 == |
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歐氏幾何,公理系統之始。《幾何原本》列五公理: |
歐氏幾何,公理系統之始。《幾何原本》列五公理: |
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一,二點必有線段相連。 |
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2. 任意線段能無限延伸成一條直線。 |
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3. 給定任意線段,可以以其一個端點作為圓心,該線段作為半徑作一個圓。 |
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4. 所有直角都全等。 |
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5. 若兩條直線都與第三條直線相交,並且在同一邊的內角之和小於兩個直角,則這兩條直線在這一邊必定相交。 |
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二、線段可從彼界直行引長之。 |
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通過一個不在直線上的點,有且僅有一條不與該直線相交的直線。 |
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三、線段作半徑,界為心,可作一圓。 |
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平行公理並不像其他公理那麼顯然。許多幾何學家嘗試用其他公理來證明這條公理,但都沒有成功。19世紀,通過構造非歐幾里德幾何,說明平行公理是不能被證明的。(若從上述公理體系中去掉平行公理,則可以得到更一般的幾何,即絕對幾何。) |
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四、直角皆等。 |
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從另一方面講,歐幾里德幾何的五條公理並不完備。例如,該幾何中的有定理:任意線段都是三角形的一部分。他用通常的方法進行構造:以線段為半徑,分別以線段的兩個端點為圓心作圓,將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而,他的公理並不保證這兩個圓必定相交。因此,許多公理系統的修訂版本被提出,其中有希爾伯特公理系統。 |
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五、角甲乙丙合角乙甲丁小于二直角者,則乙丙從丙直行引長必相交甲丁從丁直行引長。 |
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歐幾里德還提出了五個「一般概念」,也可以作為公理。當然,之後他還使用量的其他性質。 |
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尚有小公理若干,在此不述。 |
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1. 與同一事物相等的事物相等。 |
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2. 相等的事物加上相等的事物仍然相等。 |
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3. 相等的事物減去相等的事物仍然相等。 |
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4. 一個事物與另一事物重合,則它們相等。 |
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5. 整體大於局部。 |
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:此點不在本直線上,則有唯一直線過此點[[平行]]于本直線。 |
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== 非歐幾何 == |
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首四公理,甚為簡明,然平行公理,冗長甚耳。泰西疇人嘗以首四公理證平行公理,皆不可得。十九世紀,高斯等人以新公理代平行公理,得新幾何,今曰[[非歐幾何]]。然十七世紀初,[[德薩格]]創[[射影幾何]],謂平行線相交于無限遠,今亦歸非歐幾何之屬也。 |
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有疇人棄公理五,得[[絕對幾何]]。《幾何原本》首廿八定理皆絕對幾何也。 |
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== 希爾伯特公理 == |
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以當世數學觀之,《幾何原本》殊不嚴謹。[[希爾伯特]]遂於一八九九年作二十公理,以完歐氏幾何耳。 |
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二〇〇七年一一月八日 (四) 〇二時四〇分審
歐几里得幾何,或歐氏幾何,乃沿習歐几里得《幾何原本》之幾何。獨尊泰西二千年,時幾何必歐氏也,及傳中華,徐光啟亦云《幾何原本》不可增刪;至十九世紀,高斯、羅巴切夫斯基、波約三人破傳統,立新幾何,故歐氏幾何亦曰傳統幾何也。
公理
歐氏幾何,公理系統之始。《幾何原本》列五公理:
一,二點必有線段相連。
2. 任意線段能無限延伸成一條直線。 3. 給定任意線段,可以以其一個端點作為圓心,該線段作為半徑作一個圓。 4. 所有直角都全等。 5. 若兩條直線都與第三條直線相交,並且在同一邊的內角之和小於兩個直角,則這兩條直線在這一邊必定相交。
第五條公理稱為平行公理,可以導出下述命題:
通過一個不在直線上的點,有且僅有一條不與該直線相交的直線。
平行公理並不像其他公理那麼顯然。許多幾何學家嘗試用其他公理來證明這條公理,但都沒有成功。19世紀,通過構造非歐幾里德幾何,說明平行公理是不能被證明的。(若從上述公理體系中去掉平行公理,則可以得到更一般的幾何,即絕對幾何。)
從另一方面講,歐幾里德幾何的五條公理並不完備。例如,該幾何中的有定理:任意線段都是三角形的一部分。他用通常的方法進行構造:以線段為半徑,分別以線段的兩個端點為圓心作圓,將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而,他的公理並不保證這兩個圓必定相交。因此,許多公理系統的修訂版本被提出,其中有希爾伯特公理系統。
歐幾里德還提出了五個「一般概念」,也可以作為公理。當然,之後他還使用量的其他性質。
1. 與同一事物相等的事物相等。 2. 相等的事物加上相等的事物仍然相等。 3. 相等的事物減去相等的事物仍然相等。 4. 一個事物與另一事物重合,則它們相等。 5. 整體大於局部。