「二元運算」：各本之異
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若加、乘皆二元運算，且有 |
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*甲乘乙丙之和，同乎甲乙之積加甲丙之積，曰'''左分配律'''。（「x × ( y + z ) = x × y + x × z」<ref> |
*甲乘乙丙之和，同乎甲乙之積加甲丙之積，曰'''左分配律'''。（「x × ( y + z ) = x × y + x × z」<ref>依習，先乘除後加減。</ref>） |
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*甲乙之和乘丙，同乎甲丙之積加乙丙之積，曰'''右分配律'''。（「(x + y) × z = x × z + y × z」） |
*甲乙之和乘丙，同乎甲丙之積加乙丙之積，曰'''右分配律'''。（「(x + y) × z = x × z + y × z」） |
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則謂加乘二法合'''分配律'''也。 |
則謂加乘二法合'''分配律'''也。 |
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二〇〇七年一〇月二九日 （一） 〇九時一〇分審
註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。
二元運算者，四則之抽象也。
定義
二元運算者（「ｏ」），集與已之直積映射己也（「ｏ:A × A → A」），多以乘法或加法稱之，而凡甲乙之象，曰甲乘乙或甲加乙（「ｏ(a,b) = a o b」）。且以乘法語之。廣群者，有二元運算之代數結構也。[一]
結合律
若甲乙之積乘丙，同乎甲乘乙丙之積（「x o (y o z) = (x o y) o z」），則曰二元運算合結合律也。
其廣群曰半群。如有元素曰「一」（「1」），凡物乘「一」或物乘以「一」，皆為己（「1 o x = x o 1 = x」），則曰半么群也。
交換律
若甲乘乙必同乎乙乘甲（「x o y = y o x」），則曰二元運算合交換律也。
分配律
若加、乘皆二元運算，且有
- 甲乘乙丙之和，同乎甲乙之積加甲丙之積，曰左分配律。（「x × ( y + z ) = x × y + x × z」[二]）
- 甲乙之和乘丙，同乎甲丙之積加乙丙之積，曰右分配律。（「(x + y) × z = x × z + y × z」）
則謂加乘二法合分配律也。