「歐氏幾何」:各本之異
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== 公理 == |
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歐氏幾何,公理系統之始。 |
歐氏幾何,公理系統之始。夫公理者,基礎也,不可證而不證自明者也。<br/> |
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徐、利二人初譯《幾何原本》,有「求作四、公論十九」;後有以「公設」曰「求作」、「公理」曰「公論」者;今則不加細分,概曰「公理」即可。 |
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原譯「求作」者: |
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一、此點至彼點可作一線段。 |
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二、線段可從彼界直行引長之。 |
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三、線段作半徑,界為心,可作一圓。 |
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四、直角皆等。 |
四、直角皆等。 |
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五、角甲乙丙合角乙甲丁小于二直角者,則乙丙從丙直行引長必相交甲丁從丁直行引長。 |
五、角甲乙丙合角乙甲丁小于二直角者,則乙丙從丙直行引長必相交甲丁從丁直行引長。 |
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原譯「公論」者,皆易也,在此不述。 |
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然公理五亦稱[[平行公理]],等價如下命題: |
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:此點不在本直線上,則有唯一直線過此點[[平行]]于本直線。 |
:此點不在本直線上,則有唯一直線過此點[[平行]]于本直線。 |
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二〇一一年三月二七日 (日) 一四時四七分審
歐氏幾何,歐几里得始創也。初述於《幾何原本》。獨尊泰西二千年,時幾何必歐氏耳,及傳中華,徐光啟亦云《幾何原本》不可增刪;迨十九世紀,高斯、羅巴切夫斯基、波約三人破之,立新幾何,故其亦曰經典幾何。二十世紀初,相對論立,其以非歐幾何為本,歐氏幾何獨尊物理不再耳!
公理
歐氏幾何,公理系統之始。夫公理者,基礎也,不可證而不證自明者也。
徐、利二人初譯《幾何原本》,有「求作四、公論十九」;後有以「公設」曰「求作」、「公理」曰「公論」者;今則不加細分,概曰「公理」即可。
原譯「求作」者: 一、此點至彼點可作一線段。
二、線段可從彼界直行引長之。
三、線段作半徑,界為心,可作一圓。
四、直角皆等。
五、角甲乙丙合角乙甲丁小于二直角者,則乙丙從丙直行引長必相交甲丁從丁直行引長。
原譯「公論」者,皆易也,在此不述。
然公理五亦稱平行公理,等價如下命題:
- 此點不在本直線上,則有唯一直線過此點平行于本直線。
非歐幾何
首四公理,極簡明,然平行公理,冗長甚耳。泰西疇人嘗以首四公理證平行公理,皆不可得。十九世紀,高斯等人以新公理代平行公理,得新幾何,今曰非歐幾何。然十七世紀初,德薩格創射影幾何,謂平行線相交于無限遠,今亦歸非歐幾何之屬也。
有疇人棄公理五,得絕對幾何。《幾何原本》首廿八定理皆絕對幾何也。
希爾伯特公理
以當世數學觀之,《幾何原本》殊不嚴謹。希爾伯特遂於一八九九年作二十公理,以完歐氏幾何耳。