積分者，算學之術也，所以求曲線下所圍之面積。其通式作 ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)dx} ；若定上下限，則作 ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx} 。
設求 ∫ x d x {\displaystyle \int xdx} 。按直線 f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} 所函之積，必為 x 2 2 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}} 。夫積分者，反溯其導數之原也。既求其原，則本始之常數無從復知，故必益以常數（常以 C {\displaystyle C} 表之），是以 ∫ x d x = x 2 2 + C {\displaystyle \int xdx={\frac {x^{2}}{2}}+C} 。
若求自五至七所函之定積，理當以零至七之總積，減零至五之積，其差即是。故曰 ∫ 5 7 x d x = ∫ 0 7 x d x − ∫ 0 5 x d x {\displaystyle \int _{5}^{7}xdx=\int _{0}^{7}xdx-\int _{0}^{5}xdx} ，依法算之，得 7 2 2 − 5 2 2 = 12 {\displaystyle {\frac {7^{2}}{2}}-{\frac {5^{2}}{2}}=12} 。
其常用之式有三：
積分之理，端在積微成鉅。以極限言之，其式云： ∫ a b f ( x ) d x = lim n → ∞ ∑ k = 1 n f ( a + k ( b − a ) n ) ( b − a ) n = lim n → ∞ ∑ k = 0 n − 1 f ( a + k ( b − a ) n ) ( b − a ) n {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {f(a+{\frac {k(b-a)}{n}})(b-a)}{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f(a+{\frac {k(b-a)}{n}})(b-a)}{n}}}
![{\displaystyle \int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f465d9edf3b1b4a85d42855d0c228ed17f224f)
