域 (代數)各本之異

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(此條日文版實較英文版佳)
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'''域''',或曰'''體'''<ref>Körper, corps, 曰'''體'''者,蓋異乎[[向量場|場]]Feld, champ者也</ref>者,有四則之[[代數結構]]也,於其上可加與乘.
 
==定義 ==
'''<math>F</math>為一[[''',合|集]] 配以二[[二元運算|加乘]]二法,[[環 (代數)|交換環]]也。且有
*集去零,合乘法,[[交換群]]也。
*'''加法'''者,集<math>F </math>上之一[[群 (代數)#阿貝爾群|阿貝爾群]]結構也, 以0為其單位元, ''+''為其號;
甲減乙者,甲加負乙也;甲除乙者,甲乘乙逆也,然乙必非零耳。
*'''乘法'''者, 集<math>F - {0}</math>上之一[[群]]結構也, 以1為其單位元, <math>\times</math>為其號<ref>吾人每為行文簡便故,省略此號。</ref>;
:此二運算之單位元相異, 即, 0 ≠ 1, 且二運算間滿足:
*'''左右[[分配律]]''':
:任取F之元素a,b,c , 恆有 a<math>\times</math>(b + c) = (a<math>\times</math>b) + (a<math>\times</math>c) 且 (b + c)<math>\times</math>a = (b<math>\times</math>a) + (c<math>\times</math>a)
吾人復可證得:
*給定<math>F</math>中每一元 x, 恆有<math>0 \times x = x \times 0 = 0</math>.
 
是故域上加減乘除運算皆有義也.
 
<!--
==性質==
*域與[[環 (代數)|環]]同, 可定義其[[特徵數]]。因一域之任何非零元素皆可除,故可證得其特徵數若非零則必為[[質數]]。特徵數為零之域必(於[[同構]]視點下)包含[[整數]]<math>\mathbb Z</math>。
:若 a ≤ b 且 0 ≤ c 則 a<math>\times</math>c ≤ b<math>\times</math>c
惟[[複數域]]<math>\mathbb C</math>雖為[[代數完備]], 已不復能保有此序。
-->
 
==例==
*分數,實數,複數,皆域也。
*有理數集合<math>\mathbb{Q}</math>者,為一域,且此域之乘法均可交換也。
*[[四元數]]非域,蓋其乘法不合交換律耳。
*對任一質數''p'',其[[同餘]]算術所構成之環<math>\mathbb Z/p\mathbb Z</math>亦為一域。乘法可交換且<math>(\mathbb Z/p\mathbb Z ) - {0}</math>實為一乘法[[循環群]]。
*[[素數]]之[[同餘]]集,域也;合成數之同餘集,非域也。
*<math>\mathbb{R}</math> —
*<math>\mathbb{C}</math> —
*<math>\mathbb{Q}_p</math> —
*<math>\mathbb{F}_q</math> —
 
== 註 ==
<references/>
 
 
 
 
 
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[[Category: 代數]]