非標準實數

尚有同名數系，可見超實數。

超實數，hyperreal number之意譯也。魯賓遜所創，用於非標準分析，故亦曰非標準實數。

初，牛頓、萊布尼茨立微積分，論極限，謂兩數相差，小之又小，以至無窮小，則如何如何。然無窮小之物，似零非零，疇人病之，謂不合理則也。已百年，微積分盡可定義於實數，而無窮小幾不再現。然以無窮小言極限，頗合直觀，故仍偶見於入門課本。一九六零年，魯賓遜另闢蹊徑，創新數系，取名超實數，為實數之引伸，且有無窮小及無窮大。以此數系算微積分，世稱非標準分析。

算

數可分實數，無窮大，無窮小，實數加無窮小，共四者。

無窮大與無窮大之積，無窮大也。正無窮大與正無窮大之和，正無窮大也。負無窮大與負無窮大之和，負無窮大也。正無窮大與負無窮大之和，未可知也。

無窮小與無窮小之積，無窮小也。正無窮大與正無窮大之和，正無窮小也。負無窮小與負無窮小之和，負無窮小也。正無窮小與負無窮小之和，零或無窮小也。

無窮大與無窮小之和，無窮大也。無窮大與無窮小之積，未可知也。

無窮大與實數之和，無窮大也。無窮大與非零實數之積，無窮大也。無窮大與零之積，零也。

無窮小與非零實數之積，無窮小也。無窮小與零之積，零也。

無窮大之倒數，無窮小也。

問曰：若甲趨向三，則其方之極限若干？

答曰：甲趨向三，則甲乃三加無窮小也。因甲之方為九加無窮小，可知極限為九。

集

凡實數，可得一恆序列（「$(\forall n)a_{n}=a$」）。

嘗有實數序列之集，含所有恆序列，兼有如斯特性：凡甲之首項大於乙之首項者，則遂項大之（若「$a_{1}>b_{1}$」則「$(\forall n)a_{n}>b_{n}$」）。此等集合之最大者，超實數集是也。

自然數之倒數序列（「$\{1/n\}_{n=1,2,\ldots }$」），無窮小也。

四則運算，遂項算之（「{a_n}*{ba_n}={a_n}+{ba_n}」，* 可為加減乘除也）。