三角函數

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

三角函數，勾股弦與角之繫也。

定義

直角三角形

直角三角形，取一銳角，簡曰角。為便捷計，不論長短，角之對邊曰勾，角之旁曰股。

角之正弦者，弦（$r$）除勾（$y$）也（記曰$\sin \alpha ={\frac {y}{r}}$）；

餘弦者，弦除股（$x$）也（記曰$\cos \alpha ={\frac {x}{r}}$）；

正切者，股除勾也（記曰$\tan \alpha ={\frac {y}{x}}$）；

餘切者，勾除股也（記曰$\cot \alpha ={\frac {x}{y}}$）；

正割者，股除弦也（記曰$\sec \alpha ={\frac {r}{x}}$）；

餘割者，勾除弦也（記曰$\csc \alpha ={\frac {r}{y}}$）。

圓

迨坐標幾何生，其義遂新。以零點為心，徑一作一圓。定其始邊，凡一角，應圓上一點，使徑為弦，縱座標勾，橫為股。因有：

首象限，即自東（零度）始，迄北（九十度），正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割皆正；

次象限，即自北（九十度）始，迄西（百八十度），正弦、餘割為正，餘弦、正割、正切、餘切皆負；

三象限，即自西（百八十度）始，迄南（二百七十度），正弦、餘弦、正割、餘割皆負，正切、餘切為正；

四象，即自南（二百七十度）始，迄東（三百六十度，即零度），正弦、餘割、正切、餘切皆負，餘弦、正割為正。

級數

以弧度觀之，奇數乘方除以階乘（${\frac {\alpha ^{2n+1}}{(2n+1)!}}$），再以正負之法合之，得正弦級數（$\sin \alpha =\alpha -{\frac {\alpha ^{3}}{3!}}+{\frac {\alpha ^{5}}{5!}}-......=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\alpha ^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ ）。

偶乘方除以階乘（${\frac {\alpha ^{2n}}{(2n)!}}$），同法合之，得餘弦（$\cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}}{2!}}+{\frac {\alpha ^{4}}{4!}}-......=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\alpha ^{2n}}{(2n)!}}$ ） 。

若依此法，以弧長入，出之長，則三角函數可入複數、矩陣、算子，不必拘於角耳。

指數

歐拉究級數，得歐拉等式，知三角函數可以指數示之。取一角，乘負一開方，歐拉數之其乘方，得一數（$e^{i\alpha }$）；減倒數，半之，除以負一開方，得正弦（$\sin \alpha \,=\,{e^{i\alpha }-e^{-i\alpha } \over 2i}$）；加倒數，半之，得餘弦（$\cos \alpha \,=\,{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha } \over 2}$）。

公式

商關係

• $\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$

平方關係

• ${(\sin x)}^{2}+{(\cos x)}^{2}=1$

和角、差角公式

• $\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y$
• $\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$
• $\tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}}$

倍角公式

• $\sin 2x=2\sin x\cos x$
• $\cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x$
• $\tan 2x={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}$

積化和公式

• $\sin x\cos y={\frac {1}{2}}[\sin(x+y)+\sin(x-y)]$
• $\cos x\cos y={\frac {1}{2}}[\cos(x+y)+\cos(x-y)]$
• $\sin x\sin y=-{\frac {1}{2}}[\cos(x+y)-\cos(x-y)]$

和化積公式

• $\sin x\pm \sin y=2\sin {\frac {x\pm y}{2}}\cos {\frac {x\mp y}{2}}$
• $\cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}$
• $\sin x+\sin y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}$

另有多被角之式，然其煩雜，不易撰之，是以簡略。

見

• 三角學
• 雙曲函數
• 數學分析