「三角函數」:各本之異
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'''三角函數''',[[三角形|勾股弦]]與[[角]]之繫也。 |
'''三角函數''',[[三角形|勾股弦]]與[[角]]之繫也。 |
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== 定義 == |
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=== 直角三角形 === |
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直角三角形,取一[[角|銳角]],簡曰角。為便捷計,不論長短,角之對邊曰勾,角之旁曰股。 |
直角三角形,取一[[角|銳角]],簡曰角。為便捷計,不論長短,角之對邊曰勾,角之旁曰股。 |
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角之'''正弦'''者,弦 |
角之'''正弦'''者,弦(<math>r</math>)除勾(<math>y</math>)也(記曰<math>\sin \alpha = \frac{y}{r}</math>); |
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'''餘弦'''者,弦除股 |
'''餘弦'''者,弦除股(<math>x</math>)也(記曰<math>\cos \alpha = \frac{x}{r}</math>); |
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'''正切'''者,股除勾也(記曰<math>\tan \alpha = \frac{y}{x}</math>); |
'''正切'''者,股除勾也(記曰<math>\tan \alpha = \frac{y}{x}</math>); |
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'''餘割'''者,勾除弦也(記曰<math>\csc \alpha = \frac{r}{y}</math>)。 |
'''餘割'''者,勾除弦也(記曰<math>\csc \alpha = \frac{r}{y}</math>)。 |
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== 圓 == |
=== 圓 === |
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[[File:Unit_circle_angles.svg]] |
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四象,即自南(二百七十度)始,迄東(三百六十度,即零度),正弦、餘割、正切、餘切皆負,餘弦、正割為正。 |
四象,即自南(二百七十度)始,迄東(三百六十度,即零度),正弦、餘割、正切、餘切皆負,餘弦、正割為正。 |
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== 級數 == |
=== 級數 === |
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以[[弧度]]觀之,奇數乘方除以[[階乘]](<math>\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>),再以正負之法合之,得正弦級數(<math>\sin \alpha = \alpha - \frac{\alpha^3}{3!} + \frac{\alpha^5}{5!} - ...... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> )。 |
以[[弧度]]觀之,奇數乘方除以[[階乘]](<math>\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>),再以正負之法合之,得正弦級數(<math>\sin \alpha = \alpha - \frac{\alpha^3}{3!} + \frac{\alpha^5}{5!} - ...... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> )。 |
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若依此法,以弧長入,出之長,則三角函數可入[[複數]]、[[矩陣]]、[[算子]],不必拘於角耳。 |
若依此法,以弧長入,出之長,則三角函數可入[[複數]]、[[矩陣]]、[[算子]],不必拘於角耳。 |
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== 指數 == |
=== 指數 === |
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[[歐拉]]究級數,得[[歐拉等式]],知三角函數可以指數示之。取一角,乘負一開方,[[歐拉數]]之其乘方,得一數(<math>e^{i\alpha}</math>);減倒數,半之,除以負一開方,得正弦(<math>\sin \alpha \, = \, {e^{i \alpha} - e^{-i \alpha} \over 2i} </math>);加倒數,半之,得餘弦(<math>\cos \alpha \, = \, {e^{i \alpha} + e^{-i \alpha} \over 2}</math>)。 |
[[歐拉]]究級數,得[[歐拉等式]],知三角函數可以指數示之。取一角,乘負一開方,[[歐拉數]]之其乘方,得一數(<math>e^{i\alpha}</math>);減倒數,半之,除以負一開方,得正弦(<math>\sin \alpha \, = \, {e^{i \alpha} - e^{-i \alpha} \over 2i} </math>);加倒數,半之,得餘弦(<math>\cos \alpha \, = \, {e^{i \alpha} + e^{-i \alpha} \over 2}</math>)。 |
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== 公式== |
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平方關係 |
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*<math>{\sin x}^2 + {\cos x}^2 = 1</math> |
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和角、差角公式 |
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*<math>\sin (x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y</math> |
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*<math>\cos (x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y</math> |
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倍角公式 |
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*<math>\sin 2x = 2 \sin x \cos x</math> |
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*<math>\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x</math> |
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另有多被角之式,然其煩雜,不易撰之,是以簡略。 |
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二〇一九年一月三〇日 (三) 一二時五六分審
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
定義
直角三角形
直角三角形,取一銳角,簡曰角。為便捷計,不論長短,角之對邊曰勾,角之旁曰股。
角之正弦者,弦()除勾()也(記曰);
餘弦者,弦除股()也(記曰);
正切者,股除勾也(記曰);
餘切者,勾除股也(記曰);
正割者,股除弦也(記曰);
餘割者,勾除弦也(記曰)。
圓
迨坐標幾何生,其義遂新。以零點為心,徑一作一圓。定其始邊,凡一角,應圓上一點,使徑為弦,縱座標勾,橫為股。因有:
首象限,即自東(零度)始,迄北(九十度),正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割皆正;
次象限,即自北(九十度)始,迄西(百八十度),正弦、餘割為正,餘弦、正割、正切、餘切皆負;
三象限,即自西(百八十度)始,迄南(二百七十度),正弦、餘弦、正割、餘割皆負,正切、餘切為正;
四象,即自南(二百七十度)始,迄東(三百六十度,即零度),正弦、餘割、正切、餘切皆負,餘弦、正割為正。
級數
以弧度觀之,奇數乘方除以階乘(),再以正負之法合之,得正弦級數( )。
偶乘方除以階乘(),同法合之,得餘弦( ) 。
若依此法,以弧長入,出之長,則三角函數可入複數、矩陣、算子,不必拘於角耳。
指數
歐拉究級數,得歐拉等式,知三角函數可以指數示之。取一角,乘負一開方,歐拉數之其乘方,得一數();減倒數,半之,除以負一開方,得正弦();加倒數,半之,得餘弦()。
公式
平方關係
和角、差角公式
倍角公式
另有多被角之式,然其煩雜,不易撰之,是以簡略。