「三角函數」:各本之異

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== 級數 ==
== 級數 ==


以[[弧度]]觀之,奇數乘方除以[[階乘]](<math>\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>),再以正負正負之法合之,得正弦(<math>\sin \alpha = \alpha - \frac{\alpha^3}{3!} + \frac{\alpha^5}{5!} - ...... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> )。
以[[弧度]]觀之,奇數乘方除以[[階乘]](<math>\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>),再以正負之法合之,得正弦級數(<math>\sin \alpha = \alpha - \frac{\alpha^3}{3!} + \frac{\alpha^5}{5!} - ...... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}</math> )。


乘方除以[[階乘]](<math>\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!}</math>),再以正負正負之法合之,得餘弦(<math>\cos \alpha = 1 - \frac{\alpha^2}{2!} + \frac{\alpha^4}{4!} - ...... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!}</math> ) 。
偶乘方除以[[階乘]](<math>\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!}</math>),法合之,得餘弦(<math>\cos \alpha = 1 - \frac{\alpha^2}{2!} + \frac{\alpha^4}{4!} - ...... = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!}</math> ) 。


若依此法,則三角函數可[[複數]]、[[矩陣]]、[[算子]],不必拘於角耳。
若依此法,以弧長入,出之長,則三角函數可[[複數]]、[[矩陣]]、[[算子]],不必拘於角耳。


== 指數 ==
== 指數 ==

二〇一七年一〇月六日 (五) 一〇時一七分審

註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

三角函數勾股弦之繫也。

直角三角形

直角三角形,取一銳角,簡曰角。為便捷計,不論長短,角之對邊曰勾,角之旁曰股。

角之正弦者,弦(r)除勾(y)也(記曰);

餘弦者,弦除股(x)也(記曰);

正切者,股除勾也(記曰);

餘切者,勾除股也(記曰);

正割者,股除弦也(記曰);

餘割者,勾除弦也(記曰)。

坐標幾何生,其義遂新。以零點為心,徑一作一圓。定其始邊,凡一角,應圓上一點,使徑為弦,縱座標勾,橫為股。因有:

象限,即自東(零度)始,迄北(九十度),正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割皆正;

次象限,即自北(九十度)始,迄西(百八十度),正弦、餘割為正,餘弦、正割、正切、餘切皆負;

三象限,即自西(百八十度)始,迄南(二百七十度),正弦、餘弦、正割、餘割皆負,正切、餘切為正;

四象,即自南(二百七十度)始,迄東(三百六十度,即零度),正弦、餘割、正切、餘切皆負,餘弦、正割為正。

級數

弧度觀之,奇數乘方除以階乘),再以正負之法合之,得正弦級數( )。

偶乘方除以階乘),同法合之,得餘弦( ) 。

若依此法,以弧長入,出之長,則三角函數可入複數矩陣算子,不必拘於角耳。

指數

歐拉究級數,得歐拉等式,知三角函數可以指數示之。取一角,乘負一開方,歐拉數之其乘方,得一數();減倒數,半之,除以負一開方,得正弦();加倒數,半之,得餘弦()。