「域 (代數)」:各本之異

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合喇出
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*'''乘法'''者, 集<math>F - {0}</math>上之一[[群]]結構也, 以1為其單位元, <math>\times</math>為其號<ref>吾人每為行文簡便故,省略此號。</ref>;
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:此二運算之單位元相異, 即, 0 ≠ 1, 且二運算間滿足:
:此二運算之單位元相異, 即, 0 ≠ 1, 且二運算間滿足:
*'''左右分配律''':
*'''左右[[分配律]]''':
:任取F之元素a,b,c , 恆有 a<math>\times</math>(b + c) = (a<math>\times</math>b) + (a<math>\times</math>c) 且 (b + c)<math>\times</math>a = (b<math>\times</math>a) + (c<math>\times</math>a)
:任取F之元素a,b,c , 恆有 a<math>\times</math>(b + c) = (a<math>\times</math>b) + (a<math>\times</math>c) 且 (b + c)<math>\times</math>a = (b<math>\times</math>a) + (c<math>\times</math>a)
吾人復可證得:
吾人復可證得:

二〇〇六年一二月二四日 (日) 〇二時四七分審

,或曰[一]者,代數結構也,於其上可加與乘.

定義

一域為一 ,配以二二元運算

  • 加法者,集上之一阿貝爾群結構也, 以0為其單位元, +為其號;
  • 乘法者, 集上之一結構也, 以1為其單位元, 為其號[二];
此二運算之單位元相異, 即, 0 ≠ 1, 且二運算間滿足:
任取F之元素a,b,c , 恆有 a(b + c) = (ab) + (ac) 且 (b + c)a = (ba) + (ca)

吾人復可證得:

  • 給定中每一元 x, 恆有.

是故域上加減乘除運算皆有義也.

性質

  • 域與同, 可定義其特徵數。因一域之任何非零元素皆可除,故可證得其特徵數若非零則必為質數。特徵數為零之域必(於同構視點下)包含整數
  • 一般域上不必有,惟在有理數域實數域二特殊域上, 可藉由推廣整數上之序而定義一特殊之線性序, 使之滿足:
若 a ≤ b 則 a - c ≤ b - c
若 a ≤ b 且 0 ≤ c 則 ac ≤ bc

複數域雖為代數完備, 已不復能保有此序。

  • 有理數集合者,為一域,且此域之乘法均可交換也。
  • 對任一質數p,其同餘算術所構成之環亦為一域。乘法可交換且實為一乘法循環群

  1. Körper, corps, 曰者,蓋異乎Feld, champ者也
  2. 吾人每為行文簡便故,省略此號。