域 (代數)

域，或曰體者，代數結構也，於其上可加與乘.

定義

一域$F$為一集 ，配以二二元運算：

• 加法者，集$F$上之一阿貝爾群結構也, 以0為其單位元, +為其號;
• 乘法者, 集$F-{0}$上之一群結構也, 以1為其單位元, $\times$為其號;

此二運算之單位元相異, 即, 0 ≠ 1, 且二運算間滿足:

• 左右分配律：

任取F之元素a,b,c , 恆有 a$\times$(b + c) = (a$\times$b) + (a$\times$c) 且 (b + c)$\times$a = (b$\times$a) + (c$\times$a)

吾人復可證得：

• 給定$F$中每一元 x, 恆有$0\times x=x\times 0=0$.

是故域上加減乘除運算皆有義也.

性質

• 域與環同, 可定義其特徵數。因一域之任何非零元素皆可除，故可證得其特徵數若非零則必為質數。特徵數為零之域必（於同構視點下）包含整數$\mathbb {Z}$。

• 一般域上不必有序，惟在有理數域$\mathbb {Q}$與實數域$\mathbb {R}$二特殊域上, 可藉由推廣整數$\mathbb {Z}$上之序而定義一特殊之線性序, 使之滿足：

若 a ≤ b 則 a - c ≤ b - c

若 a ≤ b 且 0 ≤ c 則 a$\times$c ≤ b$\times$c

惟複數域$\mathbb {C}$雖為代數完備, 已不復能保有此序。

例

• 有理數集合$\mathbb {Q}$者，為一域，且此域之乘法均可交換也。
• 對任一質數p，其同餘算術所構成之環$\mathbb {Z} /\mathbb {Z} p$亦為一域。乘法可交換且$(\mathbb {Z} /\mathbb {Z} p)-{0}$實為一乘法循環群。
• $\mathbb {R}$ —
• $\mathbb {C}$ —
• $\mathbb {Q} _{p}$ —
• $\mathbb {F} _{q}$ —