「域 (代數)」:各本之異

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==性質==
==性質==
*域與[[環]]同, 可定義其[[特徵數]]。因一域之任何非零元素皆可除,故可證得其特徵數若非零則必為[[質數]]。特徵數為零之域必(於[[同構]]視點下)包含[[整數]]<math>\mathbb Z</math>。
*域與[[環 (代數)|環]]同, 可定義其[[特徵數]]。因一域之任何非零元素皆可除,故可證得其特徵數若非零則必為[[質數]]。特徵數為零之域必(於[[同構]]視點下)包含[[整數]]<math>\mathbb Z</math>。


*一般域上不必有[[序]],惟在[[有理數域]]<math>\mathbb Q</math>與[[實數域]]<math>\mathbb R</math>二特殊域上, 可藉由推廣[[整數]]<math>\mathbb Z</math>上之序而定義一特殊之[[線性序]], 使之滿足:
*一般域上不必有[[序]],惟在[[有理數域]]<math>\mathbb Q</math>與[[實數域]]<math>\mathbb R</math>二特殊域上, 可藉由推廣[[整數]]<math>\mathbb Z</math>上之序而定義一特殊之[[線性序]], 使之滿足:

二〇〇六年一二月二三日 (六) 〇五時五九分審

,或曰[一]者,代數結構也,於其上可加與乘.

定義

一域為一 ,配以二二元運算

  • 加法者,集上之一阿貝爾群結構也, 以0為其單位元, +為其號;
  • 乘法者, 集上之一結構也, 以1為其單位元, 為其號[二];
此二運算之單位元相異, 即, 0 ≠ 1, 且二運算間滿足:
  • 左右分配律
任取F之元素a,b,c , 恆有 a(b + c) = (ab) + (ac) 且 (b + c)a = (ba) + (ca)

吾人復可證得:

  • 給定中每一元 x, 恆有.

是故域上加減乘除運算皆有義也.

性質

  • 域與同, 可定義其特徵數。因一域之任何非零元素皆可除,故可證得其特徵數若非零則必為質數。特徵數為零之域必(於同構視點下)包含整數
  • 一般域上不必有,惟在有理數域實數域二特殊域上, 可藉由推廣整數上之序而定義一特殊之線性序, 使之滿足:
若 a ≤ b 則 a - c ≤ b - c
若 a ≤ b 且 0 ≤ c 則 ac ≤ bc

複數域雖為代數完備, 已不復能保有此序。

有理數集合者,為一域,且此域之乘法均可交換也


  1. Körper, corps, 曰者,蓋異乎Feld, champ者也
  2. 吾人每為行文簡便故,省略此號。