「歐氏幾何」:各本之異

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== 非歐幾何 ==
== 非歐幾何 ==


首四公理,甚為簡明,然平行公理,冗長甚耳。泰西疇人嘗以首四公理證平行公理,皆不可得。十九世紀,高斯等人以新公理代平行公理,得新幾何,今曰[[非歐幾何]]。然十七世紀初,[[德薩格]]創[[射影幾何]],謂平行線相交于無限遠,今亦歸非歐幾何之屬也。
首四公理,簡明,然平行公理,冗長甚耳。泰西疇人嘗以首四公理證平行公理,皆不可得。十九世紀,高斯等人以新公理代平行公理,得新幾何,今曰[[非歐幾何]]。然十七世紀初,[[德薩格]]創[[射影幾何]],謂平行線相交于無限遠,今亦歸非歐幾何之屬也。


有疇人棄公理五,得[[絕對幾何]]。《幾何原本》首廿八定理皆絕對幾何也。
有疇人棄公理五,得[[絕對幾何]]。《幾何原本》首廿八定理皆絕對幾何也。

二〇〇七年一二月二日 (日) 一八時三一分審

歐氏幾何歐几里得始創也。初述於《幾何原本》。獨尊泰西二千年,時幾何必歐氏耳,及傳中華,徐光啟亦云《幾何原本》不可增刪;迨十九世紀,高斯羅巴切夫斯基波約三人破之,立新幾何,故其亦曰經典幾何。二十世紀初,相對論立,其以非歐幾何為本,歐氏幾何獨尊物理不再耳!

公理

歐氏幾何,公理系統之始。《幾何原本》列五公理:

一、此點至彼點可作一線段。

二、線段可從彼界直行引長之。

三、線段作半徑,界為心,可作一圓。

四、直角皆等。

五、角甲乙丙合角乙甲丁小于二直角者,則乙丙從丙直行引長必相交甲丁從丁直行引長。

尚有小公理若干,在此不述。

然公理五亦稱平行公理,等價如下命題:

此點不在本直線上,則有唯一直線過此點平行于本直線。

非歐幾何

首四公理,極簡明,然平行公理,冗長甚耳。泰西疇人嘗以首四公理證平行公理,皆不可得。十九世紀,高斯等人以新公理代平行公理,得新幾何,今曰非歐幾何。然十七世紀初,德薩格射影幾何,謂平行線相交于無限遠,今亦歸非歐幾何之屬也。

有疇人棄公理五,得絕對幾何。《幾何原本》首廿八定理皆絕對幾何也。

希爾伯特公理

以當世數學觀之,《幾何原本》殊不嚴謹。希爾伯特遂於一八九九年作二十公理,以完歐氏幾何耳。