「歐氏幾何」:各本之異
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一、此點至彼點可作一線段。 |
一、此點至彼點可作一線段。 |
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二、線段可從彼界直行引長之。 |
二、線段可從彼界直行引長之。 |
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三、線段作半徑,界為心,可作一圓。 |
三、線段作半徑,界為心,可作一圓。 |
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四、直角皆等。 |
四、直角皆等。 |
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五、角甲乙丙合角乙甲丁小于二直角者,則乙丙從丙直行引長必相交甲丁從丁直行引長。 |
五、角甲乙丙合角乙甲丁小于二直角者,則乙丙從丙直行引長必相交甲丁從丁直行引長。 |
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第一五行: | 第一九行: | ||
此點不在本直線上,則有唯一直線過此點[[平行]]于本直線。 |
此點不在本直線上,則有唯一直線過此點[[平行]]于本直線。 |
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== 非歐幾何 == |
== 非歐幾何 == |
二〇〇七年一一月八日 (四) 〇二時三二分審
歐几里得幾何[一],或歐氏幾何,乃沿習歐几里得《幾何原本》之幾何。獨尊泰西二千年,時幾何必歐氏也,及傳中華,徐光啟亦云《幾何原本》不可增刪;至十九世紀,高斯、羅巴切夫斯基、波約三人破傳統,立新幾何,故歐氏幾何亦曰經典幾何也。二十世紀初,相對論立,其以非歐幾何為本,歐氏幾何獨尊物理不再耳!
公理
歐氏幾何,公理系統之始。《幾何原本》列五公理:
一、此點至彼點可作一線段。
二、線段可從彼界直行引長之。
三、線段作半徑,界為心,可作一圓。
四、直角皆等。
五、角甲乙丙合角乙甲丁小于二直角者,則乙丙從丙直行引長必相交甲丁從丁直行引長。
尚有小公理若干,在此不述。
然公理五亦稱平行公理,等價如下命題:
此點不在本直線上,則有唯一直線過此點平行于本直線。
非歐幾何
首四公理,甚簡明,然平行公理,冗長甚耳。泰西疇人嘗以首四公理證平行公理,皆不可得。十九世紀,高斯等人以新公理代平行公理,得新幾何,今曰非歐幾何。然十七世紀初,德薩格創射影幾何,後彭賽列光之,謂平行線相交于無限遠,今亦歸非歐幾何之屬也。
有疇人棄公理五,得絕對幾何。《幾何原本》首廿八定理皆絕對幾何也。
希爾伯特公理
以當世數學觀之,《幾何原本》殊不嚴謹。希爾伯特遂於一八九九年作二十公理,完備歐氏幾何耳。
註
- ↑ 歐几里德之名,徐光啟所譯。