「玻爾模型」:各本之異
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模型假定有二: |
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*乎[[氫原子]],電子繞核,為[[圓周運動]]。 |
*乎[[氫原子]],電子繞核,為[[圓周運動]]。 |
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*軌動電子之[[角動量]] <math>L</math> 為[[正整數]]乘以[[約化普朗克常數]] <math>\hbar</math> |
*軌動電子之[[角動量]] <math>L</math> 定量為[[正整數]]乘以[[約化普朗克常數]] <math>\hbar</math>。 |
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===軌道半徑量子化=== |
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按假定一,電子繞核以圓,是謂經典軌。電子運動之[[向心力]]者,乃[[庫侖力|電磁力]]所得: |
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:<math>m_e\frac{v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}</math>, |
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以 <math>m_e</math> 為電子質量,<math>v</math> 為電子速,<math>r</math> 為電子軌道半徑,<math>\varepsilon_0</math> 為[[電常數]],<math>e</math> 為[[基本電荷]]。 |
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故得半徑 |
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:<math>r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{m_e v^2}</math>, |
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又可計圓周運動之角動量,為半徑動量之積: |
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:<math>L=rm_e v</math>。 |
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故,按假定二,有速 |
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:<math>v=L/rm_e =n\hbar/rm_e</math>, |
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以 <math>n</math> 為[[主量子數]],<math>\hbar</math> 為[[約化普朗克常數]]。 |
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併以上兩式,可得 |
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:<math>r = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}n^2</math>。 |
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又書 |
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:<math>r = a n^2</math>; |
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以 <math>a = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}\approx 5.29 \times 10^{-11} m</math> 為[[玻爾半徑]]。 |
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乎氫原子玻爾模型者,電子視核為圓心,又有量子化半徑,半徑之細極也。電子弗可更趨於核,電子以圓周加速運動,亦不放光矣。 |
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===軌道能量量子化=== |
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電子繞核之軌能 <math>E</math> ,乃[[動能]] <math>K</math> 、[[勢能]] <math>V</math>之和:<ref name=Halliday/> |
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:<math>E = K + V = \frac12 m_e v^2 - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r}</math>。 |
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代軌道半徑式至上式,可得 |
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:<math>E = -\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}\ \frac{1}{n^2} \approx -\frac{13.60 eV}{n^2}</math>。 |
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乎氫原子玻爾模型者,軌能有定量,反比於主量子數平方。此乃受縛電子之能也。若設核固定不動,則亦為氫原子之能量也。 |
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===躍遷能量變化=== |
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電子者[[定態]],只存於能量穩態也。能量若有遷,則躍遷乎兩定態間,故電子只可為諸分立定態矣。若躍遷諸定態,則有食釋光波也:<ref name=Halliday/> |
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:<math>h\nu = \Delta E= E_{n'}-E_n</math>, |
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以 <math>\nu</math> 為頻率。 |
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代軌道能量式於上式,可得 |
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:<math>\frac{1}{\lambda} = -\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c}\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right)</math>。 |
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復書,得[[裡德伯公式]]: |
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:<math>\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n'^2}\right)</math>。 |
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以 <math>R=\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c}</math> 是[[裡德伯常數]]。 |
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==他山== |
==他山== |
二〇一八年一〇月一二日 (五) 一七時一四分審
玻爾模型,原子結構模型也。丹麥人玻爾倡之於一九一三年。量子化析之,究莫破電子之運動。初有芮得柏公式,論氫原子之譜線,今闡以模型也。
論
模型假定有二:
軌道半徑量子化
按假定一,電子繞核以圓,是謂經典軌。電子運動之向心力者,乃電磁力所得:
- ,
以 為電子質量, 為電子速, 為電子軌道半徑, 為電常數, 為基本電荷。
故得半徑
- ,
又可計圓周運動之角動量,為半徑動量之積:
- 。
故,按假定二,有速
- ,
併以上兩式,可得
- 。
又書
- ;
以 為玻爾半徑。
乎氫原子玻爾模型者,電子視核為圓心,又有量子化半徑,半徑之細極也。電子弗可更趨於核,電子以圓周加速運動,亦不放光矣。
軌道能量量子化
- 。
代軌道半徑式至上式,可得
- 。
乎氫原子玻爾模型者,軌能有定量,反比於主量子數平方。此乃受縛電子之能也。若設核固定不動,則亦為氫原子之能量也。
躍遷能量變化
電子者定態,只存於能量穩態也。能量若有遷,則躍遷乎兩定態間,故電子只可為諸分立定態矣。若躍遷諸定態,則有食釋光波也:[二]
- ,
以 為頻率。
代軌道能量式於上式,可得
- 。
復書,得裡德伯公式:
- 。
以 是裡德伯常數。
他山
攷
- ↑ Lakhtakia, Akhlesh; Salpeter, Edwin E. Models and Modelers of Hydrogen. American Journal of Physics. 1996, 65 (9): 933. Bibcode:1997AmJPh..65..933L. doi:10.1119/1.18691.
- ↑ 二點〇 二點一 站誤:無效的
<ref>
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