「拓撲空間」:各本之異

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== 定義 ==
== 定義 ==


'''拓撲空間'''者,集(A)也,且有[[幕集]]<ref>子集之聚。</ref>之[[子集]],曰'''拓撲'''(&tau;)<ref>為''topology''之音譯,同于拓撲學。</ref><ref>若同一集合,不同拓撲,則以 (A,&tau;<sub>1</sub>) 及 (A,&tau;<sub>1</sub>)分辨之。</ref>,其物曰'''開集'''。凡拓撲者,必以下是從:
'''拓撲空間'''者,集(<math>A</math>)也,且有[[幕集]]<ref>子集之聚。</ref>之[[子集]],曰'''拓撲'''(<math>\tau</math>)<ref>為''topology''之音譯,同于拓撲學。</ref><ref>若同一集合,不同拓撲,則以 (<math>A,\tau;<sub>1</sub></math>) 及 (<math>A,\tau;<sub>1</sub></math>)分辨之。</ref>,其物曰'''開集'''。凡拓撲者,必以下是從:
*空間與空集,皆開集(「A,&phi; &isin; &tau;」)。
*空間與空集,皆開集(「<math>A,\emptyset \in \tau</math>」)。
*取拓撲之子集,其物之並,亦開集也(「<math>B \subseteq \tau \implies \cup_{b\in B}b \in \tau</math>」)。
*取拓撲之子集,其物之並,亦開集也(「<math>B \subseteq \tau \rightarrow \cup_{b\in B}b \in \tau</math>」)。
*兩開集之交,亦開集也(「x,y &isin; &tau; &rArr; x &cap; y &isin; &tau;」)。
*兩開集之交,亦開集也(「<math>x,y \in \tau \rightarrow x \cap y \in \tau</math>」)。


開集之補集,曰[[閉集]]。且有:
開集之補集,曰[[閉集]]。且有:
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== 例 ==
== 例 ==


*集與空,成一拓撲。(「&tau; = {A,&phi;}」)
*集與空,成一拓撲。(「<math>\tau = \{ A,\emptyset \} </math>」)
*[[幕集]],成一拓撲,曰'''離散拓撲'''。(「&tau; = P(A)」)
*[[幕集]],成一拓撲,曰'''離散拓撲'''。(「<math>\tau = P(A)</math>」)
*[[度量空間]],其開球之並,聚以成集,為空間之拓撲。
*[[度量空間]],其開球之並,聚以成集,為空間之拓撲。
*取一實數,凡小於此者成一集,曰實數之開集。所得拓撲,為實數之'''序拓撲'''。(「<math>\tau=\{ (-\infty,a) | a\in \mathbb{R}\} \cup \{\phi, \mathbb{R}\}</math>」)
*取一實數,凡小於此者成一集,曰實數之開集。所得拓撲,為實數之'''序拓撲'''。(「<math>\tau=\{ (-\infty,a) | a\in \mathbb{R}\} \cup \{\phi, \mathbb{R}\}</math>」)

二〇一五年一月七日 (三) 一二時三〇分審

註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

拓撲空間開集之所也。開集者,無邊者也,疇人以為位相之本。拓撲空間之究,曰拓撲學

定義

拓撲空間者,集()也,且有幕集[一]子集,曰拓撲[二][三],其物曰開集。凡拓撲者,必以下是從:

  • 空間與空集,皆開集(「」)。
  • 取拓撲之子集,其物之並,亦開集也(「」)。
  • 兩開集之交,亦開集也(「」)。

開集之補集,曰閉集。且有:

  • 空間與空集,皆閉集。
  • 取拓撲之子集,其物之交,亦閉集也。
  • 兩閉集之並,亦閉集也。

  • 集與空,成一拓撲。(「」)
  • 幕集,成一拓撲,曰離散拓撲。(「」)
  • 度量空間,其開球之並,聚以成集,為空間之拓撲。
  • 取一實數,凡小於此者成一集,曰實數之開集。所得拓撲,為實數之序拓撲。(「」)
  • 平面上一切圖形,合子拓撲,亦拓撲空間也。

  1. 子集之聚。
  2. topology之音譯,同于拓撲學。
  3. 若同一集合,不同拓撲,則以 () 及 ()分辨之。