「拓撲空間」:各本之異
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'''拓撲空間'''者,集 |
'''拓撲空間'''者,集(<math>A</math>)也,且有[[幕集]]<ref>子集之聚。</ref>之[[子集]],曰'''拓撲'''(<math>\tau</math>)<ref>為''topology''之音譯,同于拓撲學。</ref><ref>若同一集合,不同拓撲,則以 (<math>A,\tau;<sub>1</sub></math>) 及 (<math>A,\tau;<sub>1</sub></math>)分辨之。</ref>,其物曰'''開集'''。凡拓撲者,必以下是從: |
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*空間與空集,皆開集(「A, |
*空間與空集,皆開集(「<math>A,\emptyset \in \tau</math>」)。 |
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*取拓撲之子集,其物之並,亦開集也(「<math>B \subseteq \tau \ |
*取拓撲之子集,其物之並,亦開集也(「<math>B \subseteq \tau \rightarrow \cup_{b\in B}b \in \tau</math>」)。 |
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*兩開集之交,亦開集也(「x,y |
*兩開集之交,亦開集也(「<math>x,y \in \tau \rightarrow x \cap y \in \tau</math>」)。 |
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開集之補集,曰[[閉集]]。且有: |
開集之補集,曰[[閉集]]。且有: |
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*集與空,成一拓撲。(「 |
*集與空,成一拓撲。(「<math>\tau = \{ A,\emptyset \} </math>」) |
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*[[幕集]],成一拓撲,曰'''離散拓撲'''。(「 |
*[[幕集]],成一拓撲,曰'''離散拓撲'''。(「<math>\tau = P(A)</math>」) |
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*[[度量空間]],其開球之並,聚以成集,為空間之拓撲。 |
*[[度量空間]],其開球之並,聚以成集,為空間之拓撲。 |
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*取一實數,凡小於此者成一集,曰實數之開集。所得拓撲,為實數之'''序拓撲'''。(「<math>\tau=\{ (-\infty,a) | a\in \mathbb{R}\} \cup \{\phi, \mathbb{R}\}</math>」) |
*取一實數,凡小於此者成一集,曰實數之開集。所得拓撲,為實數之'''序拓撲'''。(「<math>\tau=\{ (-\infty,a) | a\in \mathbb{R}\} \cup \{\phi, \mathbb{R}\}</math>」) |
二〇一五年一月七日 (三) 一二時三〇分審
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
拓撲空間,開集之所也。開集者,無邊者也,疇人以為位相之本。拓撲空間之究,曰拓撲學。
定義
拓撲空間者,集()也,且有幕集[一]之子集,曰拓撲()[二][三],其物曰開集。凡拓撲者,必以下是從:
- 空間與空集,皆開集(「」)。
- 取拓撲之子集,其物之並,亦開集也(「」)。
- 兩開集之交,亦開集也(「」)。
開集之補集,曰閉集。且有:
- 空間與空集,皆閉集。
- 取拓撲之子集,其物之交,亦閉集也。
- 兩閉集之並,亦閉集也。
例
- 集與空,成一拓撲。(「」)
- 幕集,成一拓撲,曰離散拓撲。(「」)
- 度量空間,其開球之並,聚以成集,為空間之拓撲。
- 取一實數,凡小於此者成一集,曰實數之開集。所得拓撲,為實數之序拓撲。(「」)
- 平面上一切圖形,合子拓撲,亦拓撲空間也。