「度量空間」:各本之異
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二〇一三年三月一一日 (一) 一〇時五八分之今審
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
度量空間,度量之所也。夫度量者,相去之程也。
定義[纂]
量度空間者,集合也,凡二物之間必有一數,曰度量(「d」)[一]。凡度量者,必以下是從:
- 二物之度量,非負也。(「」)
- 二物之度量為零,同乎二物皆一也。(「」)
- 甲乙之度量,同乎乙甲之度量。(「」)
- 甲乙之度量,少於甲丙與乙丙度量之和矣(「」)。此謂三角不等式也。
取一物曰心(a),及一正數曰半徑(r)。凡與心之度量小於半徑者,聚以成集,謂開球(「B(b,r)={ x | d(x,a) < r}」)。任意開球之並,曰開集。故度量空間實拓撲空間也。
例[纂]
- 取一集,凡相異之物,度量為一。此度量空間,其子集皆開集也。
- 歐幾里德空間者,高維實空間(「」)合一度量也。凡二點,合其差各部之方,再開方,則得歐幾里德度量。(「」)
- 實高維實空間,凡二點,合其差各部之模,得一度量也。(「」)
- 範空間者,度量空間也。
註[纂]
幾何術語
點| 頂點| 相切| 線| 直線| 曲線| 測地線| 切線| 圓錐曲線| 拋物線| 雙曲線| 螺線| 螺旋 | 面| 平面| 曲面| 切面| 三角形| 四邊形| 多邊形| 圓| 弦| 橢圓| 體| 長方體| 立方體| 棱錐| 正多面體| 錐體| 柱體| 球| 橢球| 角| 邊| 高| 長| 距| 周界| 面積| 體積| 圓周率| 黃金分割| 相似| 全等| 平行| 垂直| 平行公理| 勾股定理| 歐氏幾何| 尺規作圖| 非歐幾何| 球面幾何| 雙曲幾何| 流形| 坐標幾何| 射影幾何| 仿射幾何