群 (代數)

註︰蓋當今數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事，以合文言、數學，則無論文理之人，皆可明之也。

群者，對稱性之抽象，今代數之本也。光之者，法國疇人伽羅瓦耳。

定義

群，集也，有一「乘法」（o），合：

• 甲乙之積乘丙，同乎甲乘乙丙之積（「x o (y o z) = (x o y) o z」），曰結合律。
• 有元素名單位元，曰「一」（「1」），凡物乘「一」或物乘以「一」，皆為己（「1 o x = x o 1 = x」）。
• 物必有逆（「x^-1」），物乘逆或逆乘物，皆同乎「一」（「x o x^-1 = x^-1 o x = 1」）。

若合乎交換律，即甲乘乙必同乎乙乘甲者，則曰交換群，亦曰阿貝爾群。

例

• 整數集合其加法，交換群也，其「一」為零。
• 整數集合其乘法，非群也。蓋若為群，其「一」必為一，而二無逆耳。
• 偶數集合其加法，非群也，蓋無「一」耳。
• 「負一，零，一」合整數加法，非群也，蓋一加一不存耳。合三同餘加法，則群也。

• 整數集，取「甲乘乙」為甲加乙加一（「x o y = x + y + 1」），交換群也，其「一」為負一，物之逆為負二減己（「x^-1 = -2 - x」）。
• 可逆矩陣合其乘法，群也。然非交換群耳。
• 四元數合其乘法，群也。然非交換群耳。