三角學

單位圓中割圓諸線之圖。一弧所對，諸線各名；正弦切線，割線矢線，按圖可稽

三角學（英語Trigonometry，其字本諸希臘語，義謂量三角形也。明季譯書，稱曰大測；其表謂之割圓八線），數學之支也，究三角形邊角相求之理者也。角有廣狹，線有修短；比而列之，是為三角函數。形分二等：直線所圍，曰平三角；大圓之弧所圍，曰弧三角，亦謂球面三角。其學肇於測天，其用廣於量地。古希臘之士，先製弦表；天竺之家，改用半弦；大食之儒，廣其表式；泰西之學，定其專名。晚明西法東來，譯為大測，與中土句股之術，相參相較；入清而中西薈萃，遂集大成。

名義

崇禎中，修曆諸臣，本泰西之法，譯撰成書，名曰《大測》。其序開宗明義曰：「大測者，測三角形法也。」又論古法之窮曰：「句與股交必為直角，直角者正方角也，遇斜角則句股窮矣。」故斷之曰：「三角形之理，非句股可盡，故不名句股也。」

測天所得，皆弧之度分；弧為曲線，無率可準。乃割圓界，取直線，使與弧度相當相準。其線凡八：曰正弦，曰餘弦，曰切線，曰餘切線，曰割線，曰餘割線，曰正矢，曰餘矢，總謂之割圓八線（切線、割線，今謂正切、正割；餘切線、餘割線，今謂餘切、餘割）。象限九十度，析為五千四百分；分各八線，都四萬三千二百率。列之成表，按之即得，其序以「為之者勞，用之者逸」稱之。一形之中，三邊三角，「任有其三，可得其餘三也」；又以測天所必須，其用大於他測，故名大測。

入清，梅文鼎研精曆算，《清史稿·疇人傳》述其說曰：「曆書皆三角法也，內分二支：一曰平三角，一曰弧三角。」平者施於平面，弧者施於渾體；二支分途，其綱乃舉。

泰西之名，則後起焉。一五九五年，帕拉丁選侯腓特烈四世之宮廷司鐸皮蒂斯庫斯（Bartholomaeus Pitiscus，一五六一年至一六一三年），著書論平面球面之形，以三角之量名其書（拉丁文作Trigonometria）；西人以此名學，實自是始。

泰西源流

喜帕恰斯之像，一八六六年法國書中所繪

此章述泰西之事，紀年用西曆。古希臘有喜帕恰斯（Hipparchus）者，精於天文，卒於紀元前一百二十七年之後。以圓心所張之角為準，列弦之長短為表；推步之際，屢資其用。惟其表久佚，今不可見。論者譯其意曰：喜氏於算學之功，莫大於以弦表為本，推演三角之學，縱非首創，亦其推而廣之者也。

紀元百年前後，亞歷山卓人梅涅勞斯（Menelaus of Alexandria）撰《球面論》三卷（Sphaerica），始為球面三角形立義，謂三大圓之弧，交而成形。球上之形，與平面迥異：角角相等，則全形相等；三角相併，恆踰二直角。托勒密（Ptolemy，約一〇〇年至一七〇年）居亞歷山卓，撰《天文學大成》十三卷（Almagest）；古籍論三角，完帙傳入中古以後之歐羅巴者，此書為首。

天竺阿耶波多（Aryabhata，約四七五年至五五〇年）撰書論曆（書名Aryabhatiya），舍全弦而用半弦，列以為表；正弦之表，此其權輿。梵語本謂之半弦，後省稱曰弦（梵語ardha-jya，省作jya或jiva）。大食人譯其書，存其音而不譯其義；其音近於大食語之灣，拉丁譯者遂以灣字譯之（拉丁語sinus）。克雷莫納人傑拉德（Gherardo of Cremona，約一一一四年至一一八七年），譯《天文學大成》諸書為拉丁文，始用此字；歐羅巴諸家從之，正弦之名，由是而定。一六二四年，英人岡特（Edmund Gunter），身為牧師，工製儀器，始省其字為三字母之符（作sin）；餘五函之符，繼踵而出。

中古之世，大食、波斯之士，承而廣之。八六〇年前後，哈巴什（Ḥabash al-Ḥāsib）始製正切、餘切之表。巴塔尼（al-Battānī，約八五八年至九二九年）以表竿之影求日之高，製為影表，自一度迄九十度，度各一率，其實餘切之表也；天竺半弦之術，亦由其書而入歐羅巴。一二五〇年前後，圖西（Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī，一二〇一年至一二七四年）著書論三角，不附天文，自為一家，此其始也。

十六世紀以前，學者所重，多在球面；蓋天文之學，冠於諸科故也。天文家繆勒（Johannes Müller，世稱Regiomontanus，一四三六年至一四七六年）撰《論各類三角形》（De triangulis omnimodis），一五三三年刊於紐倫堡；近世專論三角之書，此其首出。平面球面，解法咸備；正弦定理，已具今式。雖以文辭述理，未有代數之符，哥白尼嘗精研之，手批之本，至今猶存。一六一四年，蘇格蘭人納皮爾（John Napier）創對數之法，推算之勞，為之大減；三角之表，亦賴以成。

中土之傳

臨平市民公園之沈括像

此章述中土之事，紀年改從年號。古之算家，以句股為宗。《大測序》論之曰：「九章算多以三測一，獨句股章以二測一，則皆三角形也。」然句股之術，止御直角，遇斜則窮；測天之家，乃有弧矢割圓之法。宋沈括撰《夢溪筆談》，嘆「履畝之法，方圓曲直盡矣，未有會圓之術」，乃創拆會之法：以圓徑與所割之數，先以句股求其弦，次以矢自乘倍之，以徑除之，加於弦上而得弧，自謂「古書所不到者」。

元世《授時曆》，以測算為宗；其割圓弧矢之法，《元史》削而不載。明之《大統曆》，實本授時；《明史·曆志》錄其法原七目，二曰弧矢割圓。其周天之徑，定為一百二十一度七十五分；以數覈之，三乘其徑，適合周天三百六十五度二十五分，蓋猶守徑一圍三之率也。

利瑪竇、徐光啟並立之像，出基歇爾《中國圖說》法文本，一六七〇年刊於阿姆斯特丹

崇禎二年（西曆一六二九年），敕徐光啟與李之藻、王應遴及西士羅雅谷等，纂修曆書，陸續成編。四年（西曆一六三一年）正月二十八日，光啟進曆書第一次，凡二十四卷；書有《大測》二卷，表有《割圓八線表》六卷。其後都為《崇禎曆書》百二十六卷，別有《測圓八線立成長表》四卷、《測量全義》十卷，並著於《明史·藝文志》。《大測》首篇曰因明，開卷即云：「三角形者，一形而三邊，容有三角也。」分之為平面上形、球上形二類；又援《幾何原本》第六卷第四、第五題，謂「此二題為大測之根本，不用開方，直以比例得之，法至簡，用至大也」。

崇禎八年（西曆一六三五年），李天經督修曆法，上《參訂曆法條議》二十六則；其論七政者七，六曰：「徑一圍三，非弧矢真法。」謂古曆家以直線測圓，而算用徑一圍三，其術實謬；今立八線之表，弧矢諸線，乘除一次而得。七曰：「球上三角三弧形，非句股可盡。蓋古法測天以句股為本，然句股能御直角，不能御斜角。」舊法之短，新法之長，於斯並見。

順治中，淄川薛鳳祚，初守舊法，後從西士穆尼閣談算，盡傳其術，著《算學會通》。其書所載，曰對數比例，乃「以假數求真數之便法」；曰中法四線，易六十分為百分，以就十進，止列正弦、餘弦、正切、餘切，故名四線。聖祖留心推步，「一時承學之士，蒸蒸鄉化，肩背相望」。宣城梅文鼎，著曆算之書八十餘種；其《弧三角舉要》五卷，以為「凡曆法所測，皆弧度也，弧線與直線不能為比例」，故剖析渾圓，各於弧線中得其相當直線，「即於無句股中尋出句股，此法之最奇而確者」。《平三角舉要》、《弧三角舉要》、《環中黍尺》、《塹堵測量》諸書，李文貞為之鋟版，行於當世；文貞者，大學士李光地之謚也。

流衍之用

斯涅爾三角測量之圖，一八二一年法人德朗布爾所錄

此章復用西曆。十六世紀而後，三角之學，由形而入於數。法蘭西韋達，倡符號之代數，以三角之式，解代數之方程。歐拉於一七四八年刊《無窮小分析引論》（Introductio in analysin infinitorum），引複數入三角，立$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi$之式，是為歐拉等式；今之解析三角，以此為基。傅立葉證周期之函數，幾皆可析為正弦、餘弦之無窮和；自光學、聲學，以至無線電之傳、地震之析，莫不資焉。論者謂三角之學，至傅氏之理而大備。

量地之用，亦與時而進。一五三三年，荷蘭算家弗里修斯（Gemma Frisius，一五〇八年至一五五五年）始倡三角之測：先立基線，度其修短；自兩端望遠物而測其角，以三角之理，推其遠近；遞以新得之邊為基，三角相連，網羅全境。同國斯涅爾（Willebrord Snell）首行其法，連三十三形，綿亙一百三十公里。英人測印度全境，謂之大三角測量，始於一八〇〇年，訖於一九一三年，終測得十五號峰，即聖母峰也；四海之山，莫之或崇。

中土亦然。梅文鼎著《分天度里》，謂兩地各知北極之高，又知經度之差，「是有兩邊一角，而求餘一邊」，斜距之里可知；若先知斜距之里而求經度，「是為三邊求角」；其法並以斜弧三角立算。東西之術，殊途同歸。夫三角之學，始於仰觀，終於俯察；肇自弦表，衍為函數。測天量地，無遠弗屆；推步製器，靡不賴焉。