User:Hillgentleman/卡茨丹-魯斯迪多項式

卡茨丹-魯斯迪多項式為表示論中一種多項式組，亦有用於代數幾何與組合學。 原定義雖淺，唯難算，且蘊深意。

原定義

設:

• W為一 Coxeter 羣。
• S為 W之簡映集。
• $l(w)$為 W上之長度函數。
• $\mathcal{H}'$ 為$\mathbb Z [q]$上一代數：
  • T_w 為其基，且其乘法符：
    • 當 $l(w w') = l(w)+l(w')$，有 $T_w T_{w'} = T_{w w'}$，
    • 當 $s \in S$，有 $(T_s +1)(T_s - q) = 0$；
• $A:= \mathbb Z ((q^{1/2}))$;
• $\mathcal{H} := \mathcal{H}' \otimes_{\mathbb Z} [q]A$。

卡茨丹與魯斯迪嘗

• 定義： W-圖 為序對 (X,Y)；其中 X 為頂點集，Y為邊集；且每一頂點$x\in X$，有S之子集$I_x$；每一邊{x,y}，有非零整數$\mu(y,x)$，且符：
  • （設E 為以X為基之自由A-模）；
  • （設$s,t \in S, s \neq t, (st)^m=1 \in S$）；
  • $\tau_s(x) := \left[ {}^{-x ; \longleftarrow (s\in I_x)}_ {qx + q^{1/2}\sum_{y\in X, s\in I_y , \{y,x\}\in Y} \mu (y,x)y \longleftarrow (s \notin I_x) } \right]$ 定義一E態射；
  • $\tau_s \tau_t \tau_s... = \tau_t\tau_s\tau_t ...$，其中每側有m 因子。

設：

• $\bar{q^{1/2}} := q^{-1/2} \in A$。
• $\bar{\sum a_w T_w} := \sum \bar{a_w} T_{w^{-1}}^{-1} \in \mathcal{H}$。
• $q_w := q^{l(w)}$。
• $\epsilon_w := (-1)^{l(w)}$。
• $\leq$為W上之自然Bruhat 序。

卡茨丹 與 魯斯迪 嘗證

• 定理： 每一$w \in W$，存在唯一 $C_w \in\mathcal{H}$，使：
  • $\bar(C_w) = C_w$；
  • $C_w = \sum_{y\leq w} \epsilon_y \epsilon_w q_w^{1/2} q_y^{-1} \bar{P_{y,w}} T_y$；
    • 其中，當$y < w$ 時，$P_{y,w} \in A$ 為以 q 為元、次數少於$1/2 (l(w)-l(y)-1)$ 之多項式，
    • 且 $P_{w,w} =1$。

卡茨丹 與 魯斯迪嘗猜想 ：「各$P_{y,w}$之各系數為非負整數」, 並證之。是故研究員稱之曰「卡茨丹-魯斯迪多項式」。

攷

• J.E. Humphreys (1990), 《Reflection Groups and Coexter Groups》，Cambridge University Press.
• F. Benti (2003), Kazhdan-Lusztig polynomials: History Problems, and Combinatorial Invariance,[一].