量子群

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量子群(quantum group)乃一系列代數結構之通稱,霍普夫代數(Hopf algebra)之特例,亦可視為q-量子化之李代數也。雖其名曰「羣」,惟彼非矣。以其表示論可構楊振寧-Baxter 方程之解,與扭結不變量

Drinfeld 所謂之量子群[]

狹義上最常見之量子羣,又曰量子通用包絡代數 (quantum universal envelopping algebra, QUE algebra), 來自Vladimir DrinfeldNicolai ReshetikhinMichio Jimbo 等之學,乃Kac-Moody 代數[一]通用包絡q-形變。 設

量子羣U_q(\mathfrak{g})為一單元結合代數[二] ,有生成元:

  • k_{\lambda} (其中 \lambda 屬於權格[三] 每一 i 有:2 (\lambda,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i) \in \mathbb{Z}),
  • e_i := e_{\alpha_i}, 其中\alpha_i 為簡單根;
  • f_i := f_{\alpha_i}, 其中\alpha_i 為簡單根;
  • k_0 = 1;

  • k_{\lambda} k_{\mu} = k_{\lambda+\mu},
  • k_{\lambda} e_i k_{\lambda}^{-1} = q^{(\lambda,\alpha_i)} e_i,
  • k_{\lambda} f_i k_{\lambda}^{-1} = q^{- (\lambda,\alpha_i)} f_i,
  • [e_i,f_j] = \delta_{ij} \frac{k_i - k_i^{-1}}{q_i - q_i^{-1}},
  • \sum_{n=0}^{1 - a_{ij}} (-1)^n \frac{[1 - a_{ij}]_{q_i}!}{[1 - a_{ij} - n]_{q_i}! [n]_{q_i}!} e_i^n e_j e_i^{1 - a_{ij} - n} = 0, for i \ne j,
  • \sum_{n=0}^{1 - a_{ij}} (-1)^n \frac{[1 - a_{ij}]_{q_i}!}{[1 - a_{ij} - n]_{q_i}! [n]_{q_i}!} f_i^n f_j f_i^{1 - a_{ij} - n} = 0, for i \ne j,
其中k_i = k_{\alpha_i}q_i = q^{\frac{1}{2}(\alpha_i,\alpha_i)}[0]_{q_i}! = 1[n]_{q_i}!q-階乘[四][m]_{q_i}q-序列 [五]

末二關係式曰 「q-舍爾關係」[六],即舍爾關係之q-形變

q 逼近 1,此等關係式漸近於一般 通用包絡代數[七] U(\mathfrak{g})之關係式,而各元之極限為:

  • k_{\lambda} \to 1
  • \frac{k_{\lambda} - k_{-\lambda}}{q - q^{-1}} \to t_{\lambda}

其中 t_{\lambda} 為嘉當子代數\mathfrak{h}一元,其與\mathfrak{h}中任何元h 有關係:(t_{\lambda},h) = \lambda(h)。 存在數種餘結合餘積[八] 結構使U_q(\mathfrak{g})成為霍普夫代數,例如:

  • \Delta_1(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda, \Delta_1(e_i) = 1 \otimes e_i + e_i \otimes k_i, \Delta_1(f_i) = k_i^{-1} \otimes f_i + f_i \otimes 1,
  • \Delta_2(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda, \Delta_2(e_i) = k_i^{-1} \otimes e_i + e_i \otimes 1, \Delta_2(f_i) = 1 \otimes f_i + f_i \otimes k_i,
  • \Delta_3(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda, \Delta_3(e_i) = k_i^{-\frac{1}{2}} \otimes e_i + e_i \otimes k_i^{\frac{1}{2}}, \Delta_3(f_i) = k_i^{-\frac{1}{2}} \otimes f_i + f_i \otimes k_i^{\frac{1}{2}}, 其中,若有需要,吾人可加入生成元 k_{\lambda} ,而 λ 為某權格元素與某根格元素之半 之和;

同時,吾人有反餘積[九]T \circ \Delta,其中 T(x \otimes y) = y \otimes x,即

  • \Delta_4(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda, \Delta_4(e_i) = k_i \otimes e_i + e_i \otimes 1, \Delta_4(f_i) = 1 \otimes f_i + f_i \otimes k_i^{-1},其中 \Delta_4 = T \circ \Delta_1,
  • \Delta_5(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda, \Delta_5(e_i) = 1 \otimes e_i + e_i \otimes k_i^{-1}, \Delta_5(f_i) = k_i \otimes f_i + f_i \otimes 1, where \Delta_5 = T \circ \Delta_2,
  • \Delta_6(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda, \Delta_6(e_i) = k_i^{\frac{1}{2}} \otimes e_i + e_i \otimes k_i^{-\frac{1}{2}}, \Delta_6(f_i) = k_i^{\frac{1}{2}} \otimes f_i + f_i \otimes k_i^{-\frac{1}{2}}, where \Delta_6 = T \circ \Delta_3.

此等餘積有同一餘單位元[一〇]\epsilon(k_{\lambda}) = 1, \epsilon(e_i) = 0, \epsilon(f_i) = 0

對映[一一]各為:

  • S_1(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_1(e_i) = - e_i k_i^{-1},\ S_1(f_i) = - k_i f_i,
  • S_2(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_2(e_i) = - k_i e_i,\ S_2(f_i) = - f_i k_i^{-1},
  • S_3(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_3(e_i) = - q_i e_i,\ S_3(f_i) = - q_i^{-1} f_i,
  • S_4(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_4(e_i) = - k_i^{-1} e_i,\ S_4(f_i) = - f_i k_i,
  • S_5(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_5(e_i) = - e_i k_i,\ S_5(f_i) = - k_i^{-1} f_i,
  • S_6(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_6(e_i) = - q_i^{-1} e_i,\ S_6(f_i) = - q_i f_i.

換一角度,U_q(G) 為域{\Bbb C}(q)上一代數--{\Bbb C}上以 q 為變量之有理函數域;

亦可視 U_q(G)為域{\Bbb Q}(q)上一代數--{\Bbb Q}上以 q 為變量之有理函數域(見下文:q=0 時之量子羣一節)。

表示理論[]

量子羣有多種表示。

由其霍普夫代數結構,U_q(G) 有在其自身上之伴隨表示[一二],如下: {\mathrm{Ad}}_x.y = \sum_{(x)} x_{(1)} y S(x_{(2)}),

其中 x_{(1)}, x_{(2)} 為常用符號(所謂「Sweedler 符號」)

\sum_{(x)} x_{(1)} \otimes x_{(2)} := \Delta(x)

情況一:q非 1 之根[]

權表示[一三](或曰「權模[一四] )重要。 權模有由權向量[一五]所成之基。 權向量即非零向量v, 使每\lambdak_{\lambda}.v = d_{\lambda} v ,其中每d_{\lambda}為複數,使

  • d_0 = 1,
  • 每權 \lambda\mu d_{\lambda} d_{\mu} = d_{\lambda + \mu},。


若 權格中每一 \lambda k_{\lambda}.v = q^{(\lambda,\nu)} v ,則吾人稱 v 之權為\nu

可積表示[一六]者, 為一權表示,於其上e_i and f_i之作用俱為零冪 (即其中每一 v,存在正整數k使每一 ie_i^k.v = f_i^k.v = 0)。此時,各數 d_{\lambda}d_{\lambda} = c_{\lambda} q^{(\lambda,\nu)},其中 \nu 屬於權格,而c_{\lambda} 為複數,使得

  • c_0 = 1,
  • 每權\lambda\muc_{\lambda} c_{\mu} = c_{\lambda + \mu},
  • ic_{2\alpha_i} = 1

最高權表示尤其重要。最高權模生自單一權向量 v;每一權\lambdavk_{\lambda}.v = d_{\lambda} v ,而每一 ie_i.v = 0 。 類似地,吾人亦有最低權表示,生成自單一權向量 v,而每一 if_i.v = 0

\mathfrak{g}為 Kac-Moody 代數,則在其任何不可約最高權表示(以\nu為最高權)中,權重數相等於U(\mathfrak{g})之數最高權表示。若其最高權為支配整權[一七] (即 2 (\mu,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i) 為非負整數)則權譜在韋爾羣 作用下不變,而此表示可積。

相逆,若有一可積表示,則其最高權向量 vk_{\lambda}.v = c_{\lambda} q^{(\lambda,\nu)} v,其中 c_{\lambda} 為複數,使

  • c_0 = 1,
  • 每權 \lambda\mu

c_{\lambda} c_{\mu} = c_{\lambda + \mu},

  • c_{2\alpha_i} = 1 for all i,
  • \nu 為整支配整權。

二表示之 張量積亦為一表示。 每U_q(\mathfrak{g})中一元 x , 每向量 vw 有作用:x.(v \otimes w) = \Delta(x).(v \otimes w), 使 k_{\lambda}.(v \otimes w) = k_{\lambda}.v \otimes k_{\lambda}.w;對於餘積 \Delta_1, 有 e_i.(v \otimes w) = k_i.v \otimes e_i.w + e_i.v \otimes wf_i.(v \otimes w) = v \otimes f_i.w + f_i.v \otimes k_i^{-1}.w.

上述最高權表示為一一維表示 ( k_{\lambda} = c_{\lambda},) 與一由 v_0 生成之最高權表示 (每權 \lambda 有 k_{\lambda}.v_0 = q^{(\lambda,\nu)} v_0</math> , 而每ie_i.v_0 = 0 )之張量積。

特别地,若\mathfrak{g} 為有限維李代數,則支配整最高權表示乃有限維。

最高權表示張量積之直和分解 同一般 Kac-Moody 代數表示之直和分解。

情況二:q為 1 之根[]

半三角性[]

情況一:q非 1 之根[]

嚴格講,U_q(G)半三角霍普夫代數 [一八],唯彼有一無窮級數R可假作R-矩陣。 此無窮級數為e_if_i 與嘉當生成元 t_{\lambda}之表示式,其中 k_{\lambda}形式地當作 q^{t_{\lambda}}。此式可分成兩因式之積:q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}} 與 一無窮和,其中 \{\lambda_j\} 嘉當子代數之對偶空間之基,而\{\mu_j\} 為其對偶基,\eta 為 +1 或 -1。

此無窮級數 R 可作用於 兩不可約最高權表示(或兩最低權表示)之張量積。更準確地講,若 v 為權- \alpha- 向量,w為權- \beta-向量,則 q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}.(v \otimes w) = q^{\eta (\alpha,\beta)} v \otimes w,而最高權(或最低權)之性使另一因式於 v \otimes w 之作用成有限和。

更準確地講, 若 V 為最高權表示,則無限和RV\otimes V上定義有一作用,且 (作為 \mathrm{Hom}(V) \otimes \mathrm{Hom}(V)之元)符 楊振寧-Baxter 方程,故定義一辮羣之表示,亦定義扭結擬不變量[一九]

情況二:q為 1 之根[]

待修

晶體基 - q=o時之量子羣[]

柏原正樹曾研究q \to 0時量子羣之極限行為。 由U_q(G)之定義關係,可視 U_q(G){\Bbb Q}(q) 上之霍普夫代數

\alpha_i簡單根n為非負整數,設 e_i^{(n)}: = e_i^n/[n]_{q_i}!f_i^{(n)} := f_i^n/[n]_{q_i}! (特别地, e_i^{(0)} = f_i^{(0)} = 1)。設M為可積表示,\lambda為一權,u \in M_{\lambda} (即權\lambda向量) 可唯一地分解成

  • u = \sum_{n=0}^\infty f_i^{(n)} u_n = \sum_{n=0}^\infty e_i^{(n)} v_n,

其中 u_n \in \mathrm{ker}(e_i) \cap M_{\lambda + n \alpha_i}, v_n \in \mathrm{ker}(f_i) \cap M_{\lambda - n \alpha_i},若u_n \ne 0 則必有 n + \frac{2 (\lambda,\alpha_i)}{(\alpha_i,\alpha_i)} \ge 0, 而若 v_n \ne 0 則必有 n - \frac{2 (\lambda,\alpha_i)}{(\alpha_i,\alpha_i)} \ge 0。 線性 影射\tilde{e}_i : M \to M\tilde{f}_i : M \to M 可於M_{\lambda}上定義:

  • \tilde{e}_i u = \sum_{n=1}^\infty f_i^{(n-1)} u_n = \sum_{n=0}^\infty e_i^{(n+1)} v_n
  • \tilde{f}_i u = \sum_{n=0}^\infty f_i^{(n+1)} u_n = \sum_{n=1}^\infty e_i^{(n-1)} v_n

A為所有{\Bbb Q}(q) 中 於 q = 0 正則 (regular) 之有理函數所成之整環。(即此類 f(q):存在多項式 g(q), h(q) \in{\Bbb Q}[q] 使 f(q) = g(q)/h(q) ,且h(0) \ne 0)。 M 之一 晶體基[二〇]為一有序對 (L,B),其中

  • LM之一自由A-子模,其使 M = {\Bbb Q}(q) \otimes_A L;
  • B\Bbb Q 上向量空間L/qL 之一 \Bbb Q-基,
  • L = \oplus_{\lambda} L_{\lambda},且B = \sqcup_{\lambda} B_{\lambda},其中L_{\lambda} = L \cap M_{\lambda} ,而B_{\lambda} = B \cap (L_{\lambda}/qL_{\lambda}),
  • i\tilde{e}_i L \subset L\tilde{f}_i L \subset L
  • i\tilde{e}_i B \subset B \cup \{0\}\tilde{f}_i B \subset B \cup \{0\}
  • b \in Bb' \in B,每i,有 \tilde{e}_i b = b' 若且僅若\tilde{f}_i b' = b


概念上, e_i f_if_i e_i於可積模上 、q = 0時之作用 常有。 吾人引進其上之線性映射\tilde{e}_i\tilde{f}_i 以使 \tilde{e}_i \tilde{f}_i\tilde{f}_i \tilde{e}_i於該模上、 q = 0時之作用為正則。 M有一由權向量 \tilde{B} 組成之{\Bbb Q}(q)-基,使 \tilde{e}_i\tilde{f}_i 於其上、q = 0 時之作用為正則。 吾人限制此表示於此基所生成之 A-模上, 再於q = 0時計算其基向量、, the A-子模、 \tilde{e}_i\tilde{f}_i 之作用。 再者,吾人可擇此基,使 q = 0時,每\tilde{e}_i 與 每 \tilde{f}_i 互為轉置(are represented by mutual transposes), 而基向量則映射至基向量或 0。

每晶體基之訊息,可記以一每邊有記號之有向圖。 圖中每一頂點代表 L/qL\Bbb Q-基 B 之一元,每一自 頂點v_1 指 頂點v_2 之有向邊 i代表等式 b_2 = \tilde{f}_i b_1 (或 b_1 = \tilde{e}_i b_2),其中b_1v_1相應之基向量 ,為b_2相應之基向量 v_2。此圖定義\tilde{e}_i\tilde{f}_iq = 0時之作用。 設一可積表示有一晶體基;彼不可約若且僅若其圖連通

若一可積表示具晶體基,則其權譜 等於 晶體基之權譜[二一],亦等於相應之 Kac-Moody 代數之權譜。 晶體基中權之重數 亦同 其於相應之 Kac-Moody 代數表示中之重數。 柏原正樹嘗證

 定理:每一可積最高權表示有一晶體基。  


晶格基之張量積[]

M為一可積表示,(L,B)為其晶體基。 設M' 為一可積表示, (L',B')為其晶體基。賦與每晶體基一餘積[二二] \Delta

  • \Delta(k_{\lambda}) := k_{\lambda} \otimes k_{\lambda},
  • \Delta(e_i) = e_i \otimes k_i^{-1} + 1 \otimes e_i,
  • \Delta(f_i) = f_i \otimes 1 + k_i \otimes f_i

可積模M \otimes_{{\Bbb Q}(q)} M' 有一晶體基(L \otimes_A L',B \otimes B'),其中 B \otimes B' = \{ b \otimes_{\Bbb Q} b' : b \in B,\ b' \in B' \}。設 b \in B為基向量;設\epsilon_i(b) := \mathrm{max}\{ n \ge 0 : \tilde{e}_i^n b \ne 0 \};設 \phi_i(b) := \mathrm{max}\{ n \ge 0 : \tilde{f}_i^n b \ne 0 \}\tilde{e}_i\tilde{f}_ib \otimes b' 上之作用為

  • \tilde{e}_i (b \otimes b') = \left\{ \begin{matrix} \tilde{e}_i b \otimes b', & \mathrm{if} \ \phi_i(b) \ge \epsilon_i(b'), \\ b \otimes \tilde{e}_i b', & \mathrm{if} \ \phi_i(b) < \epsilon_i(b'), \end{matrix} \right.
  • \tilde{f}_i (b \otimes b') = \left\{ \begin{matrix} \tilde{f}_i b \otimes b', & \mathrm{if} \ \phi_i(b) > \epsilon_i(b'), \\ b \otimes \tilde{f}_i b', & \mathrm{if} \ \phi_i(b) \le \epsilon_i(b'). \end{matrix} \right.

兩可積最高權表示之積可分解成不可約子表示;此分解為其圖之連通部所定。

緊致矩陣量子羣[]

S.L. Woronowicz引進緊致矩陣量子羣。 緊致矩陣量子羣為一種抽象結構;於其上之「連續函數」為某C* 代數中之元素。 緊致矩陣量子羣上之幾何為非交換幾何之特例。

緊致Hausdorff 空間上之複值連續函數為一交換C*-代數。由蓋爾芳特定理,每一交換C*-代數,存在唯一(除同肧關係)緊致Hausdorff 空間,其上之複值連續函數 同構於 原本之C*-代數。

每一緊拓樸羣G,存在一 C*-algebra 態射 \Delta : C(G) \to C(G) \otimes C(G) (其中C(G) \otimes C(G) 為 C*-algebra 張量積 -C(G)C(G) 之代數張量積之完備化),使得每f \in C(G)、每 x, y \in G, 有 \Delta(f)(x,y) = f(xy) (其中 (f \otimes g)(x,y) = f(x) g(y) ,而 f, g \in C(G)x, y \in G)。 亦有一線性、積性態映射 \kappa : C(G) \to C(G),使 每 f \in C(G)x \in G\kappa(f)(x) = f(x^{-1})。嚴格講,若 G 非有限羣,C(G) 不成一霍普夫代數。然而,吾人可用G之一有限表示以生成 C(G)之一 *-子代數,是為一 Hopf *-代數。專言之,若g \mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}G之一 n-維表示,則每 i, ju_{ij} \in C(G),且\Delta(u_{ij}) = \sum_k u_{ik} \otimes u_{kj}。然則由 u_{ij}\kappa(u_{ij})生成之 *-代數乃一 Hopf *-代數:其餘單位元為各 \epsilon(u_{ij}) = \delta_{ij} 所定(其中\delta_{ij}Kronecker delta,取值0 或1), 其對映為 \kappa,其單位元為1 = \sum_k u_{1k} \kappa(u_{k1}) = \sum_k \kappa(u_{1k}) u_{k1}

推而廣之,一緊矩陣量子羣定義自序對 (C,u),其中 C 為一 C*-代數,而u = (u_{ij})_{i,j = 1,\dots,n}C 上之矩陣,使

  • C內生成自u之矩陣元之 *-子代數 C_0,於C 內稠密。
  • 存在 C*-代數態射\Delta : C \to C \otimes C (其中C \otimes C 為 C*-代數張量積 - CC之代數張量積之完備化)使每 i,j 有 \Delta(u_{ij}) = \sum_k u_{ik} \otimes u_{kj}。人稱\Delta為餘積;
  • 存在線性反積性映射\kappa : C_0 \to C_0 (「餘逆元」)使每 v \in C_0\kappa(\kappa(v*)*) = v,且 \sum_k \kappa(u_{ik}) u_{kj} = \sum_k u_{ik} \kappa(u_{kj}) = \delta_{ij} I,其中IC之單位元。因 \kappa 之反積性,每v, w \in C_0\kappa(vw) = \kappa(w) \kappa(v)

由連續性,C 上之餘積有餘結合性。

一般C雙代數C_0 為一Hopf *-代數。

概念上,可視C為 緊致矩陣量子羣上連續函數所成之 *-代數,u 為緊致矩陣量子羣之一有限維表示。

一緊致矩陣量子羣之有限維表示 為一Hopf *-代數之 餘表示 [二三]。 吾人稱表示 v 為么正, 若其矩陣為么正(或,等價地,若每 i, j\kappa(v_{ij}) = v^*_{ji} )。

例:SU_{\mu}(2),其中參量 \mu 為一正整數。故 SU_{\mu}(2) = (C(SU_{\mu}(2),u), 其中 C(SU_{\mu}(2))\alpha and \gamma生成之 C*-代數 ,其定義關係為

\gamma \gamma^* = \gamma^* \gamma, \ \alpha \gamma = \mu \gamma \alpha, \ \alpha \gamma^* = \mu \gamma^* \alpha, \ \alpha \alpha^* + \mu \gamma^* \gamma = \alpha^* \alpha + \mu^{-1} \gamma^* \gamma = I,

u = \left( \begin{matrix} \alpha & \gamma \\ - \gamma^* & \alpha^* \end{matrix} \right), 故其餘積定義自 \Delta(\alpha) = \alpha \otimes \alpha - \gamma \otimes \gamma^*, \Delta(\gamma) = \alpha \otimes \gamma + \gamma \otimes \alpha^*, 其餘逆元定義自\kappa(\alpha) = \alpha^*, \kappa(\gamma) = - \mu^{-1} \gamma, \kappa(\gamma^*) = - \mu \gamma^*, \kappa(\alpha^*) = \alpha。注意:u 為一表示,但非么正。 u等價於么正表示 v = \left( \begin{matrix} \alpha & \sqrt{\mu} \gamma \\ - \frac{1}{\sqrt{\mu}} \gamma^* & \alpha^* \end{matrix} \right).

換言之,SU_{\mu}(2) = (C(SU_{\mu}(2),w), 其中 C(SU_{\mu}(2))\alpha\beta生成之 C*-代數 ,其定義關係為

\beta \beta^* = \beta^* \beta, \ \alpha \beta = \mu \beta \alpha, \ \alpha \beta^* = \mu \beta^* \alpha, \ \alpha \alpha^* + \mu^2 \beta^* \beta = \alpha^* \alpha + \beta^* \beta = I,

w = \left( \begin{matrix} \alpha & \mu \beta \\ - \beta^* & \alpha^* \end{matrix} \right), 故其餘積定義自 \Delta(\alpha) = \alpha \otimes \alpha - \mu \beta \otimes \beta^*, \Delta(\beta) = \alpha \otimes \beta + \beta \otimes \alpha^*,且其餘逆元定義自\kappa(\alpha) = \alpha^*, \kappa(\beta) = - \mu^{-1} \beta, \kappa(\beta^*) = - \mu \beta^*, \kappa(\alpha^*) = \alpha。注意:w 乃一么正表示。此等表示可以\gamma = \sqrt{\mu} \beta 互相轉換。

\mu = 1,則SU_{\mu}(2) SU(2)

另見[]

[]

[]

  1. 例如半單李代數
  2. (en:unital associative algebra)
  3. (en:weight lattice)
  4. [n]_{q_i}! = \prod_{m=1}^n [m]_{q_i}n為任何正整數
  5. [m]_{q_i} = \frac{q_i^m - q_i^{-m}}{q_i - q_i^{-1}}
  6. (q-Serre relations)
  7. (en:universal enveloping algebra)
  8. coassociative coproducts
  9. reverse coproduct
  10. en:counit
  11. antipode
  12. en:adjoint representation
  13. en:weight representation
  14. en:weight module
  15. en: weight vector
  16. en:integrable representation
  17. en:dominant integral weight
  18. en:quasitriangular Hopf algebra
  19. en:quasi-invariant
  20. en:crystal base
  21. en:weight spectrum
  22. en:coproduct
  23. corepresentation -- 一餘單位餘結合餘代數之餘表示 A為一方矩陣 v = (v_{ij})_{i,j = 1,\dots,n},其項來自 A (故v \in M_n(A))使 每 i, j\Delta(v_{ij}) = \sum_{k=1}^n v_{ik} \otimes v_{kj},且 每i, j\epsilon(v_{ij}) = \delta_{ij}