群 (代數)

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往:
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

者,對稱性之抽象,今代數之本也。光之者,法國疇人伽羅瓦耳。

定義[]

,集也,有一「乘法」(o)[一],合:

  • 甲乙之積乘丙,同乎甲乘乙丙之積(「x o (y o z) = (x o y) o z」),曰結合律
  • 有元素名單位元,曰「一」(「1」),凡物乘「一」或物乘以「一」,皆為己(「1 o x = x o 1 = x」)。
  • 物必有逆(「x-1」),物乘逆或逆乘物,皆同乎「一」(「x o x-1 = x-1 o x = 1」)。

若合乎交換律,即甲乘乙必同乎乙乘甲者,則曰交換群,亦曰阿貝爾群。

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  • 整數集合其加法,交換群也,其「一」為零。
  • 整數集合其乘法,非群也。蓋若為群,其「一」必為一,而二無逆耳。
  • 偶數集合其加法,非群也,蓋無「一」耳。
  • 「負一,零,一」合整數加法,非群也,蓋一加一不存耳。合三同餘加法,則群也。
  • 整數集,取「甲乘乙」為甲加乙加一(「x o y = x + y + 1」),交換群也,其「一」為負一,物之逆為負二減己(「x-1 = -2 - x」)。
  • 可逆矩陣合其乘法,群也。然非交換群耳。
  • 四元數合其乘法,群也。然非交換群耳。

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  1. 集與己直積映射己,o : G× G → G 。o(x,y) 多作 x o y 。